Question

如果函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，且f（x•y）=f（x）+f（y）對于任何實數(shù)x，y都成立，
（1）求f（0）的值；
（2）證明：f（

x

y

）=f（x）-f（y）；
（3）已知f（3）=1，且f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=0，則可求出f（0）；
（2）令x=y=1，則f（1）=0，令xy=1，得到f（

1

y

）=-f（y），再由條件將y換成

1

y

，即可得證；
（3）由f（3）=1，得到f（9）=2．不等式等價為f（a）＞f（9a-9），再由單調(diào)性即可解出a的范圍．

解答： （1）解：∵f（x•y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，則f（0）=2f（0），
∴f（0）=0；
（2）證明：∵f（x•y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1，則f（1）=2f（1），
∴f（1）=0，
令xy=1，則x=

1

y

，f（1）=f（y）+f（

1

y

）．
∴f（

1

y

）=-f（y），
∴f（

x

y

）=f（x）+f（

1

y

）=f（x）-f（y）．
（3）解：∵f（3）=1，
∴f（9）=2f（3）=2．
則f（a）＞f（a-1）+2，即為f（a）＞f（a-1）+f（9），
即有f（a）＞f（9a-9），
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，
∴a＞9a-9，
∴a＜

9

8

．
則a的取值范圍是（-∞，

9

8

）．

點評：本題考查抽象函數(shù)及應(yīng)用，考查解決抽象函數(shù)值的常用方法：賦值法，考查函數(shù)的單調(diào)性和運用，屬于中檔題．