(本小題滿分14分高☆考♂資♀源*網(wǎng)

證明以下命題:

對任一正整a,都存在整數(shù)b,c(b<c),使得成等差數(shù)列。

存在無窮多個互不相似的三角形△,其邊長為正整數(shù)且成等差數(shù)列。

【解析】作為壓軸題,考查數(shù)學(xué)綜合分析問題的能力以及創(chuàng)新能力。

    (1)考慮到結(jié)構(gòu)要證,;類似勾股數(shù)進行拼湊。

證明:考慮到結(jié)構(gòu)特征,取特值滿足等差數(shù)列,只需取b=5a,c=7a,對一切正整數(shù)a均能成立。

結(jié)合第一問的特征,將等差數(shù)列分解,通過一個可做多種結(jié)構(gòu)分解的因式說明構(gòu)成三角形,再證明互不相似,且無窮。

證明:當(dāng)成等差數(shù)列,則,

分解得:

選取關(guān)于n的一個多項式,做兩種途徑的分解

對比目標式,構(gòu)造,由第一問結(jié)論得,等差數(shù)列成立,

考察三角形邊長關(guān)系,可構(gòu)成三角形的三邊。

下證互不相似。

任取正整數(shù)m,n,若△m,相似:則三邊對應(yīng)成比例, 

由比例的性質(zhì)得:,與約定不同的值矛盾,故互不相似。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本小題滿分14分)

某研究機構(gòu)為了研究人的腳的大小與身高之間的關(guān)系,隨機抽測了20人,得到如下數(shù)據(jù):

序      號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

身高x(厘米)

192

164

172

177

176

159

171

166

182

166

腳長y( 碼 )

48

38

40

43

44

37

40

39

46

39

序      號

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

身高x(厘米)

169

178

167

174

168

179

165

170

162

170

腳長y( 碼 )

43

41

40

43

40

44

38

42

39

41

(Ⅰ)若“身高大于175厘米”的為“高個”,“身高小于等于175厘米”的為“非高個”;“腳長大于42碼”的為“大腳”,“腳長小于等于42碼”的為“非大腳”.請根據(jù)上表數(shù)據(jù)完成下面的聯(lián)列表:

高  個

非高個

合  計

大  腳

非大腳

12

合  計

20

   (Ⅱ)根據(jù)題(1)中表格的數(shù)據(jù),若按99%的可靠性要求,能否認為腳的大小與身高之間有關(guān)系?

   (Ⅲ)若按下面的方法從這20人中抽取1人來核查測量數(shù)據(jù)的誤差:將一個標有數(shù)字1,2,3,4,5,6的正六面體骰子連續(xù)投擲兩次,記朝上的兩個數(shù)字的乘積為被抽取人的序號.試求:

①抽到12號的概率;②抽到“無效序號(超過20號)”的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年廣東省揭陽市高三3月第一次高考模擬理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(本小題滿分14分)

如圖1,在等腰梯形CDEF中,CB、DA是梯形的高,,,現(xiàn)將梯形沿CB、DA折起,使,得一簡單組合體如圖2示,已知分別為的中點.

圖1                                圖2

(1)求證:平面;

(2)求證:;

(3)當(dāng)多長時,平面與平面所成的銳二面角為

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年江蘇省蘇北四市(徐、連、淮、宿)高三元月調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題

(本小題滿分14分)現(xiàn)有一張長為80cm,寬為60cm的長方形鐵皮ABCD,準備用它做成一只無蓋長方體鐵皮盒,要求材料利用率為100%,不考慮焊接處損失。如圖,若長方形ABCD的一個角剪下一塊鐵皮,作為鐵皮盒的底面,用余下材料剪拼后作為鐵皮盒的側(cè)面,設(shè)長方體的底面邊長為x (cm),高為y (cm),體積為V (cm3

 

 

(1)求出x 與 y 的關(guān)系式;

(2)求該鐵皮盒體積V的最大值;

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年廣東湛江市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)卷 題型:解答題

(本小題滿分14分)

一農(nóng)民有基本農(nóng)田2畝,根據(jù)往年經(jīng)驗,若種水稻,則每季每畝產(chǎn)量為400公斤;若種花生,則每季每畝產(chǎn)量為100公斤。但水稻成本較高,每季每畝240元,而花生只需80元,且花生每公斤5元,稻米每公斤賣3元,F(xiàn)該農(nóng)民手頭有400元,兩種作物各種多少,才能獲得最大收益?

 

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