Question

設球的半徑為時間t的函數(shù)R（t）．若球的表面積以均勻速度c增長，則球的體積的增長速度與球半徑（　�。�

• A、成正比，比例系數(shù)為

  c

  2

• B、成反比，比例系數(shù)為

  c

  2

• C、成反比，比例系數(shù)為c
• D、成正比，比例系數(shù)為c

Answer 1

分析：求出球的體積的表達式，然后球的導數(shù)，推出8πR（t）R′（t）=c，利用面積的導數(shù)是體積，求出球的表面積的增長速度與球半徑的比例關(guān)系．

解答：解：由題意可知球的表面積為S（t）=4πR²（t），
∴V_表=S′（t）=4πR²（t）=8πR（t）R′（t）=c，
∴R（t）R′（t）=

c

8π

球的體積為 V(t)=

4

3

πR3(t)，
則V′（t）=4πR²（t）R′（t）=4πR（t）•

c

8π

=

c

2

•R（t），
即球的體積的增長速度與球半徑成正比，且比例系數(shù)為

c

2

故選A

點評：本題考球的體積與表面積，導數(shù)的幾何意義，其中根據(jù)已知中球的表面積以均勻速度c增長，c與R（t）及R′（t）之間的關(guān)系，是解答本題的關(guān)鍵．