Question

（2013•浙江）已知a∈R，函數(shù)f（x）=x³-3x²+3ax-3a+3．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，求|f（x）|的最大值．

Answer 1

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)取x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)值及f（1），由直線方程的點(diǎn)斜式寫出切線方程；
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分a≤0，0＜a＜1，a≥1三種情況求|f（x）|的最大值．特別當(dāng)0＜a＜1時(shí)，仍需要利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在區(qū)間（0，2）上的極值，然后在根據(jù)a的范圍分析區(qū)間端點(diǎn)值與極值絕對值的大�。�

解答：解：（1）因?yàn)閒（x）=x³-3x²+3ax-3a+3，所以f′（x）=3x²-6x+3a，
故f′（1）=3a-3，又f（1）=1，所以所求的切線方程為y=（3a-3）x-3a+4；
（2）由于f′（x）=3（x-1）²+3（a-1），0≤x≤2．
故當(dāng)a≤0時(shí)，有f′（x）≤0，此時(shí)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，故
|f（x）|_max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3-3a．
當(dāng)a≥1時(shí)，有f′（x）≥0，此時(shí)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，故
|f（x）|_max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3a-1．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由3（x-1）²+3（a-1）=0，得x1=1-

1-a

，x2=1+

1-a

．
所以，當(dāng)x∈（0，x₁）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（x₁，x₂）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（x₂，2）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
所以函數(shù)f（x）的極大值f(x1)=1+2(1-a)

1-a

，極小值f(x2)=1-2(1-a)

1-a

．
故f（x₁）+f（x₂）=2＞0，f(x1)-f(x2)=4(1-a)

1-a

＞0．
從而f（x₁）＞|f（x₂）|．
所以|f（x）|_max=max{f（0），|f（2）|，f（x₁）}．
當(dāng)0＜a＜

2

3

時(shí)，f（0）＞|f（2）|．
又f(x1)-f(0)=2(1-a)

1-a

-(2-3a)=

a2(3-4a)

2(1-a) 1-a +2-3a

＞0
故|f(x)|max=f(x1)=1+2(1-a)

1-a

．
當(dāng)

2

3

≤a＜1時(shí)，|f（2）|=f（2），且f（2）≥f（0）．
又f(x1)-|f(2)|=2(1-a)

1-a

-(3a-2)=

a2(3-4a)

2(1-a) 1-a +3a-2

．
所以當(dāng)

2

3

≤a＜

3

4

時(shí)，f（x₁）＞|f（2）|．
故f(x)max=f(x1)=1+2(1-a)

1-a

．
當(dāng)

3

4

≤a＜1時(shí)，f（x₁）≤|f（2）|．
故f（x）_max=|f（2）|=3a-1．
綜上所述|f（x）|_max=

3-3a，a≤0 1+2(1-a) 1-a ，0＜a＜ 3 4 3a-1，a≥ 3 4

．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，正確的分類是解答（2）的關(guān)鍵，此題屬于難題．