Question

9．已知函數(shù)f（x）=e^x-m+ln$\frac{3}{x}$．
（Ⅰ）設(shè)x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求m的值并討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)m≤2時，證明：f（x）＞ln3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的極值，求出m的值，得到f（x）的表達(dá)式，從而求出f（x）的單調(diào)區(qū)間即可
（Ⅱ）當(dāng)m≤2，x∈（0，+∞）時，e^x-m≥e^x-2，又e^x≥x+1，從而e^x-m≥e^x-2≥x-1，取函數(shù)h（x）=x-1-ln（2x）（x＞0），h′（x）=1-$\frac{1}{x}$，由此利用導(dǎo)性質(zhì)能證明f（x）＞ln3．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x-m+ln$\frac{3}{x}$，
∴x＞0，${f}^{'}（x）={e}^{x-m}-\frac{1}{x}$，
∵x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，
∴f′（1）=e^1-m-1=0，解得m=1．
∴f（x）=${e}^{x-1}+ln\frac{3}{x}$，定義域為x＞0，
${f}^{'}（x）={e}^{x-1}-\frac{1}{x}$，${f}^{''}（x）={e}^{x-1}+\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴x=1是f′（x）=0的唯一零點(diǎn)，
∴當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
（Ⅱ）證明：當(dāng)m≤2，x∈（0，+∞）時，e^x-m≥e^x-2，
又e^x≥x+1，∴e^x-m≥e^x-2≥x-1．
取函數(shù)h（x）=x-1+ln$\frac{3}{x}$，（x＞0），h′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
當(dāng)0＜x＜1時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
得函數(shù)h（x）在x=1時取唯一的極小值即最小值為h（1）=ln3．　
∴f（x）=e^x-m+ln$\frac{3}{x}$≥e^x-2-ln$\frac{3}{x}$≥x-1-ln$\frac{3}{x}$≥ln3，
而上式三個不等號不能同時成立，故f（x）＞ln3．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題、屬于中檔題．