Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)與垂直的直線和線段的垂直平分線相交于點(diǎn)。

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過(1)中軌跡上的點(diǎn)作兩條直線分別與軌跡相交于，兩點(diǎn)。試探究：當(dāng)直線的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，直線的斜率是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，說明理由。

Answer 1

【答案】(1)；(2) 直線的斜率為定值.

【解析】

試題分析：(1)由得點(diǎn)的軌跡符合拋物線的定義，可求出點(diǎn)的軌跡方程；

(2) 在拋物線上,則作差得，直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立得，所以有，即，同理得，代入計(jì)算即可.

試題解析： （1）依題意，,故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡為

(2)∵在拋物線上，∴

由①-②可得，，

故直線的斜率為 ……③

設(shè)直線方程為，由得

由，于是，同理可得

∴ ∴直線的斜率為定值。