Question

5．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，過(guò)焦點(diǎn)（0，2）的直線(xiàn)l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，$\frac{9}{2}$），$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{MN}$=0，則直線(xiàn)l斜率為（　�。�

• A． ±$\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． ±$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． ±$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 求出以AF為直徑的圓的方程，與橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1聯(lián)立，求出N的坐標(biāo)，利用斜率公式可得結(jié)論．

解答 解：∵$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{MN}$=0，點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，$\frac{9}{2}$），F(xiàn)（0，2），
∴以AF為直徑的圓的方程為x²+（y-$\frac{13}{4}$）²=$\frac{25}{16}$，
與橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1聯(lián)立，得5-$\frac{5}{9}$y²+（y-$\frac{13}{4}$）²=$\frac{25}{16}$，
即8y²-117y+252=0，
∴y=$\frac{21}{8}$（另一根舍去），
∴x=±$\frac{5\sqrt{3}}{8}$，
∴N（±$\frac{5\sqrt{3}}{8}$，$\frac{21}{8}$）
∴直線(xiàn)l斜率為$\frac{\frac{21}{8}-2}{±\frac{5\sqrt{3}}{8}}$=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程，考查圓與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求出N的坐標(biāo)是關(guān)鍵．