Question

(本小題滿分13分)
如圖，已知、為平面上的兩個(gè)定點(diǎn)，，且，（為動(dòng)點(diǎn)，是和的交點(diǎn)）.

（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系求出點(diǎn)的軌跡方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)的軌跡上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)、，且線段的中垂線與直線相交于一點(diǎn)，證明＜（為的中點(diǎn)）．

Answer 1

解：（Ⅰ）以所在的直線為軸，的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.
由題設(shè)，，
∴，而.
∴點(diǎn)是以、為焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓.
故點(diǎn)的軌跡方程是.…………………………………（4分）
（Ⅱ）設(shè)，，.
∴，且，即.
又、在軌跡上，∴，.
即，.
代入整理，得
.
∵，∴．
∵，，∴．
∵，∴.
∴，即＜．……………………………………………（13分）

略