【題目】已知函數(shù),.
(1)若,證明:;
(2)若,有且只有個零點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若,,,求正整數(shù)的最小值.
【答案】(1)證明見解析;(2)(3)2
【解析】
(1)將代入,求導(dǎo)后根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)的最大值,即可證明;
(2)由有且只有個零點,對分類討論,得的極大值大于,得出實數(shù)的取值范圍,再根據(jù)(1)驗證由有且只有個零點即可;
(3)構(gòu)造函數(shù),根據(jù),求出函數(shù)的最大值,再代入,即可得到正整數(shù)的最小值
(1)由題知,,,
所以,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減;
所以;
(2)因為,
當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,不可能有個零點,
當(dāng)時,令,解得,
所以,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減;
所以,
若只有個零點,則,解得:,
由(1)知:,所以,令,
解得:或,
所以,存在,滿足;
存在,滿足;
所以在和上個恰有個零點,符合題意,
綜上,所求實數(shù)的取值范圍為;
(3)令,
所以,
,.
令,得,所以當(dāng)時,,當(dāng)時,.
因此函數(shù)在上是增函數(shù),在是減函數(shù),
所以,
令,因為,,
又因為在上是減函數(shù),所以當(dāng)時,,
所以整數(shù)的最小值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某次水下考古活動中,需要潛水員潛入水深為30米的水底進(jìn)行作業(yè).其用氧量包含3個方面:①下潛時,平均速度為(米/單位時間),單位時間內(nèi)用氧量為(為正常數(shù));②在水底作業(yè)需5個單位時間,每個單位時間用氧量為0.4;③返回水面時,平均速度為(米/單位時間), 單位時間用氧量為0.2.記該潛水員在此次考古活動中,總用氧量為.
(1)將表示為的函數(shù);
(2)設(shè)0<≤5,試確定下潛速度,使總的用氧量最少.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圖是一幾何體的平面展開圖,其中四邊形ABCD為正方形,E,F,G,H分別為,,,的中點,在此幾何體中,給出下面五個結(jié)論:①平面平面ABCD;②平面BDG;③平面PBC;④平面BDG;⑤平面BDG.
其中正確結(jié)論的序號是________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)為定義域上單調(diào)函數(shù),且存在區(qū)間(其中),使得當(dāng)時,的值域恰為,則稱函數(shù)是上的正函數(shù),區(qū)間叫做等域區(qū)間.如果函數(shù)是上的正函數(shù),則實數(shù)的取值范圍為 ▲ .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某市的交通狀況,現(xiàn)對其6條道路進(jìn)行評估,得分分別為:5,6,7,8,9,10.規(guī)定評估的平均得分與全市的總體交通狀況等級如表
評估的平均得分 | (0,6] | (6,8] | (8,10] |
全市的總體交通狀況等級 | 不合格 | 合格 | 優(yōu)秀 |
(1)求本次評估的平均得分,并參照上表估計該市的總體交通狀況等級.
(2)用簡單隨機抽樣方法從這6條道路中抽取2條,它們的得分組成一個樣本,求該樣本的平均數(shù)與總體的平均數(shù)之差的絕對值不超0.5的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在棱長為1的正方體中,點分別是棱,的中點,是側(cè)面內(nèi)一點,若 平面,則線段長度的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列滿足:
(1)求的值;
(2)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;
(3)設(shè)假設(shè)恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,圓:.
(Ⅰ)若圓C與x軸相切,求圓C的方程;
(Ⅱ)已知,圓與x軸相交于兩點(點在點的左側(cè)).過點任作一條直線與圓:相交于兩點A,B.問:是否存在實數(shù)a,使得=?若存在,求出實數(shù)a的值,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)存在極大值,且極大值為1,證明:.
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