Question

12．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C：ρ=$\frac{3}{2-cosθ}$，θ∈[0，2π），直線l$\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=2+2t\end{array}\right.（t$為參數(shù)，t∈R）
（1）求曲線C和直線l的普通方程；
（2）設(shè)直線l和曲線C交于A、B兩點，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C：ρ=$\frac{3}{2-cosθ}$，θ∈[0，2π），化為2ρ-ρcosθ=3，可得4ρ²=（3+ρcosθ）²，利用ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，可得直角坐標(biāo)方程．可由直線l$\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=2+2t\end{array}\right.（t$為參數(shù)，t∈R），消去參數(shù)t可得普通方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．把直線l的方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程可得：19x²-70x+55=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：$|{x}_{1}-{x}_{2}{|}^{2}$=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-4x₁x₂．可得|AB|=$\sqrt{5}$×|x₁-x₂|．

解答 解：（1）曲線C：ρ=$\frac{3}{2-cosθ}$，θ∈[0，2π），化為2ρ-ρcosθ=3，
∴4ρ²=（3+ρcosθ）²，可得直角坐標(biāo)方程：4（x²+y²）=（3+x）²，化為：$\frac{（x-1）^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
由直線l$\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=2+2t\end{array}\right.（t$為參數(shù)，t∈R），可得y=2+2（x-3），化為：2x-y-4=0．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
把y=2x-4代入曲線C的直角坐標(biāo)方程可得：19x²-70x+55=0，
∴x₁+x₂=$\frac{70}{19}$，x₁x₂=$\frac{55}{19}$．
∴$|{x}_{1}-{x}_{2}{|}^{2}$=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-4x₁x₂=$（\frac{70}{19}）^{2}$-4×$\frac{55}{19}$=$\frac{720}{1{9}^{2}}$．
∴|AB|=$\sqrt{5}$×|x₁-x₂|=$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{720}}{19}$=$\frac{60}{19}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與橢圓相交弦長公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．