【題目】如圖所示,在中, 的中點(diǎn)為,且,點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上,且.固定邊,在平面內(nèi)移動(dòng)頂點(diǎn),使得圓與邊,邊的延長(zhǎng)線相切,并始終與的延長(zhǎng)線相切于點(diǎn),記頂點(diǎn)的軌跡為曲線.以所在直線為軸, 為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)設(shè)動(dòng)直線交曲線于兩點(diǎn),且以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn),求面積的取值范圍.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】【試題分析】(1)依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用橢圓的定義進(jìn)行分析探求;(2)借助題設(shè)條件運(yùn)用直線與橢圓的位置關(guān)系進(jìn)行分析求解:
(Ⅰ)依題意得,設(shè)動(dòng)圓與邊的延長(zhǎng)線相切于,與邊相切于, 則
所以
所以點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓,且挖去長(zhǎng)軸的兩個(gè)頂點(diǎn).則曲線的方程為.
由于曲線要挖去長(zhǎng)軸兩個(gè)頂點(diǎn),所以直線斜率存在且不為,所以可設(shè)直線
由得,,同理可得: ,;
所以,
又,所以令,
則且,所以
又,所以,
所以,
所以,所以,
所以面積的取值范圍為.
【法二】
依題意得直線斜率不為0,且直線不過橢圓的頂點(diǎn),則可設(shè)直線: ,且。
設(shè),又以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn),則,所以
由得,則
且,所以
又
代入①得: ,所以,
代入②得: 恒成立所以且.
又;
點(diǎn)到直線的距離為,
所以
(Ⅰ)當(dāng)時(shí), ;
(Ⅱ)當(dāng)且時(shí),
,
又,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”,所以,
所以,所以,
所以,所以;
綜合(1),(2)知.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,正四棱錐P﹣ABCD中,側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角的正切值為.
(1)求側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角的大;
(2)若E是PB的中點(diǎn),求異面直線PD與AE所成角的正切值;
(3)問在棱AD上是否存在一點(diǎn)F,使EF⊥側(cè)面PBC,若存在,試確定點(diǎn)F的位置;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 數(shù)列{an}滿足,2Sn=an(an+1).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為An , 求證:對(duì)任意正整數(shù)n,都有An< 成立;
(3)數(shù)列{bn}滿足bn=( )nan , 它的前n項(xiàng)和為Tn , 若存在正整數(shù)n,使得不等式(﹣2)n﹣1λ<Tn+ ﹣2n﹣1成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,左頂點(diǎn)為,左焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上,直線與橢圓交于, 兩點(diǎn),直線, 分別與軸交于點(diǎn), .
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)?若經(jīng)過,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不經(jīng)過,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,多面體中,四邊形是菱形, , 相交于, ,點(diǎn)在平面上的射影恰好是線段的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)若直線與平面所成的角為,求平面與平面所成角(銳角)的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,滿足:①f(x)在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù);②存在[ ]D,使得f(x)在[ ]上的值域?yàn)閇a,b],那么就稱函數(shù)y=f(x)為“優(yōu)美函數(shù)”,若函數(shù)f(x)=logc(cx﹣t)(c>0,c≠1)是“優(yōu)美函數(shù)”,則t的取值范圍為( )
A.(0,1)
B.(0, )
C.(﹣∞, )
D.(0, )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知向量 =(1,2), =(cosα,sinα),設(shè) = ﹣t (t為實(shí)數(shù)).
(1)t=1 時(shí),若 ∥ ,求2cos2α﹣sin2α的值;
(2)若α= ,求| |的最小值,并求出此時(shí)向量 在 方向上的投影.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an},滿足a1=1, ,n∈N* . (Ⅰ)求證:數(shù)列 為等差數(shù)列;
(Ⅱ)設(shè) ,求T2n .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求在上的最小值;
(2)若關(guān)于的不等式只有兩個(gè)整數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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