Question

9．已知直線l經(jīng)過點P（2，1），則
（1）若直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，且△OAB的面積為4，求直線l的方程；
（2）若直線l與原點距離為2，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意，設(shè)直線為截距式方程，然后利用面積求未知數(shù)；
（2）根據(jù)直線斜率的情況分別求直線方程．

解答 解：（1）設(shè)直線方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}=1\;（a＞0，b＞0）$則點A（a，0），B（0，b），
由題意得$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{a}+\frac{1}=1\\ \frac{1}{2}ab=4\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=2\end{array}\right.$，
所以直線l：$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1$即x+2y-4=0．…（7分）
（2）過P點的直線l₂與原點距離為2，而P點坐標為（2，1），可見，過P（2，1）垂直于x軸的直線滿足條件．此時l的斜率不存在，其方程為x=2．
若斜率存在，設(shè)l的方程為y-1=k（x-2），即kx-y-2k+1=0．
由已知過P點與原點距離為2，得$\frac{|-2k+1|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2$，解得$k=-\frac{3}{4}$．
此時l₂的方程為3x+4y-10=0．綜上，可得直線l₂的方程為x=2或3x+4y-10=0．

點評 本題考查了直線方程；熟練掌握直線方程的幾種形式，靈活選擇方程．