【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,AP=AB=AD=1.
(Ⅰ)若直線PB與CD所成角的大小為,求BC的長;
(Ⅱ)求二面角B-PD-A的余弦值.
【答案】(1)2(2)
【解析】
試題分析:(1)以為單位正交基底,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè),則,利用空間向量夾角余弦公式列方程求解即可;(2)分別求出平面PBD與平面PAD的一個(gè)法向量,根據(jù)空間向量夾角余弦公式,可得結(jié)果.
試題解析:解:(1)以{ }為單位正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A-xyz.因?yàn)?/span>AP=AB=AD=1,所以A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).設(shè)C(1,y,0),則=(1,0,-1), =(-1,1-y,0). …………………2分
因?yàn)橹本PB與CD所成角大小為,
所以|cos<, >|=| |= ,
即,解得y=2或y=0(舍),
所以C(1,2,0),所以BC的長為2.
(2)設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量為n1=(x,y,z).
因?yàn)?/span>=(1,0,-1), =(0,1,-1),
則即
令x=1,則y=1,z=1,所以n1=(1,1,1).
因?yàn)槠矫?/span>PAD的一個(gè)法向量為n2=(1,0,0),
所以cos<n
所以,由圖可知二面角B-PD-A的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx(其中常數(shù)a,b∈R),g(x)=f(x)﹣f′(x)是奇函數(shù),
(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)求g(x)在[1,3]上的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,其中是自然常數(shù),
(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)性和極值;
(2)若恒成立,求的取值范圍.
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【題目】已知橢圓 (a>b>0)的右焦點(diǎn)F(1,0),離心率為 ,過F作兩條互相垂直的弦AB,CD,設(shè)AB,CD的中點(diǎn)分別為M,N.
(1)求橢圓的方程;
(2)證明:直線MN必過定點(diǎn),并求出此定點(diǎn)坐標(biāo);
(3)若弦AB,CD的斜率均存在,求△FMN面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)圓上的點(diǎn)A(2,3)關(guān)于直線x+2y=0的對稱點(diǎn)仍在圓上,且與直線x﹣y+1=0相交的弦長為2 ,求圓的方程.
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【題目】某工廠有100名工人接受了生產(chǎn)1000臺(tái)某產(chǎn)品的總?cè)蝿?wù),每臺(tái)產(chǎn)品由9個(gè)甲型裝置和3個(gè)乙型裝置配套組成,每個(gè)工人每小時(shí)能加工完成1個(gè)甲型裝置或3個(gè)乙型裝置.現(xiàn)將工人分成兩組分別加工甲型和乙型裝置.設(shè)加工甲型裝置的工人有x人,他們加工完甲型裝置所需時(shí)間為t1小時(shí),其余工人加工完乙型裝置所需時(shí)間為t2小時(shí).
設(shè)f(x)=t1+t2.
(Ⅰ)求f(x)的解析式,并寫出其定義域;
(Ⅱ)當(dāng)x等于多少時(shí),f(x)取得最小值?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知如圖:平行四邊形ABCD中,BC=6,正方形ADEF所在平面與平面ABCD垂直,G,H分別是DF,BE的中點(diǎn).
(1)求證:GH∥平面CDE;
(2)若CD=2,DB=4 ,求四棱錐F﹣ABCD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=aln x+ (a>0).
(1)求函數(shù)f(x)的極值;
(2)若對任意的x>0,恒有ax(2-ln x)≤1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)是否存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)f(x)在[1,e]上的最小值為0?若存在,試求出a的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題p:方程x2+mx+1=0有兩個(gè)不等的負(fù)根,命題q:4x2+4(m﹣2)x+1=0無實(shí)根,P且q為真命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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