Question

14．直線$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=-3\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）和圓x²+y²=R²交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（　�。�

• A． （3，-3）
• B． $（-\sqrt{3}，3）$
• C． $（\sqrt{3}，-3）$
• D． $（3，-\sqrt{3}）$

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀）．由直線參數(shù)方程消去參數(shù)t化為：$\sqrt{3}$x-y-4$\sqrt{3}$=0．與圓的方程聯(lián)立化為：4x²-24x+48-R²=0，由已知可得：△＞0．利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀）．
由直線$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=-3\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）消去參數(shù)化為：$\sqrt{3}$x-y-4$\sqrt{3}$=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y-4\sqrt{3}=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={R}^{2}}\end{array}\right.$，化為：4x²-24x+48-R²=0，
由已知可得：△＞0．
∴x₁+x₂=6，
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=3，y₀=$\sqrt{3}×3-4\sqrt{3}$=-$\sqrt{3}$，
可得M$（3，-\sqrt{3}）$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線的參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓相交問(wèn)題、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．