Question

【題目】已知曲線C上任意一點(diǎn)到的距離與到點(diǎn) 的距離之比均為.

（1）求曲線C的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作兩條相異直線分別與曲線C相交于兩點(diǎn)，且直線和直線的傾斜角互補(bǔ)，求線段的最大值．

Answer 1

【答案】(1) ； （2）.

【解析】

（1）設(shè)曲線C上的任意一點(diǎn)為Q（x，y），利用已知條件列出方程，即可求解曲線C的方程．

（2）由題意知，直線PE和直線PF的斜率存在，且互為相反數(shù)，設(shè)直線PE的方程為y+3=k

（x﹣1），由消去y得（1+k2）x2﹣2k（k+3）x+k2+6k﹣1=0，求出EF的

坐標(biāo)，得到直線的斜率，然后求解直線方程，轉(zhuǎn)化求解EF 的距離的最小值即可．

（1）設(shè)曲線C上的任意一點(diǎn)為Q（x，y），

由題意得，整理得x2+y2=10．

即曲線C的方程為x2+y2=10.

（2）由題意知，直線PE和直線PF的斜率存在，

且互為相反數(shù)，因?yàn)?/span>P（1，﹣3），故可設(shè)直線PE的方程為y+3=k（x﹣1），

由消去y得（1+k2）x2﹣2k（k+3）x+k2+6k﹣1=0，

因?yàn)?/span>P（1，﹣3）在圓上，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x=1一定是該方程的解，

故可得，同理，，

所以==，

故直線EF的斜率為定值，設(shè)直線EF的方程為，

則圓C的圓心到直線EF的距離，

所以，

所以當(dāng)b=0時(shí)，．