Question

【題目】已知函數(shù)；

(Ⅰ)若m=1，求證： 在(0，+∞)上單調(diào)遞增；

(Ⅱ)若，試討論g(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) 當(dāng)m<1時(shí)，g(x)沒有零點(diǎn)；m=1時(shí)，g(x)有一個(gè)零點(diǎn)；m>1時(shí)，g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)

【解析】試題分析：(Ⅰ) m=1時(shí)， ，要證在上單調(diào)遞增，只要證： 對x>0恒成立，令，通過求導(dǎo)可證得，令，通過求導(dǎo)可證得，所以即得證；

(Ⅱ) 由有，顯然是增函數(shù)，令，得即∴g(x)在(0，x0]上是減函數(shù)，在[x0，+∞)上是増函數(shù)，∴g(x)有極小值，g(x0) =，分情況討論

①當(dāng)m=1時(shí)②m<1時(shí)③當(dāng)m>1時(shí)三種情況通過求導(dǎo)研究單調(diào)性，最值即可得解.

試題解析：

(Ⅰ)m=1時(shí)， ，

要證在上單調(diào)遞增，只要證： 對x>0恒成立，

令，則，當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)x<1時(shí), ,故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

所以,即 (當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號成立)，

令，則，

當(dāng)0<x<1時(shí)， ,當(dāng)時(shí)， ,故j(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以,即 (當(dāng)且僅當(dāng)x =1時(shí)取等號)，

(當(dāng)且僅當(dāng)x =1時(shí)等號成立)

在上單調(diào)遞增.

(Ⅱ)由有，顯然是增函數(shù)，

令，得，

則時(shí)， 時(shí)， ，

∴g(x)在(0，x0]上是減函數(shù)，在[x0，+∞)上是増函數(shù)，

∴g(x)有極小值，g(x0) =

①當(dāng)m=1時(shí)， ，g(x)極小值=g(1) =0，g(x)有一個(gè)零點(diǎn)1；

②m<1時(shí)，0<x0<1， ，g(x)沒有零點(diǎn)；

③當(dāng)m>1時(shí)，x0>1，g(x0)<1-0-1=0,又

又對于函數(shù)時(shí),

∴當(dāng)x>0時(shí)，y>1-0-1 = 0，即，

∴g(3m) = ，

令，則，

∵m>1, ∴，∴t(m)>t(1)==2-ln3>0，∴g(3m)>0，

又∴有兩個(gè)零點(diǎn)，

綜上，當(dāng)m<1時(shí)，g(x)沒有零點(diǎn)；m=1時(shí)，g(x)有一個(gè)零點(diǎn)；m>1時(shí)，g(x)有兩個(gè)零點(diǎn).