Question

【題目】設(shè)為平面上個(gè)點(diǎn)的集合，其中任三點(diǎn)不共線(xiàn)，任四點(diǎn)不共圓．一個(gè)圓被稱(chēng)為“好圓”是指中有三個(gè)點(diǎn)在圓上，個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，個(gè)點(diǎn)在圓外．求證：好圓的個(gè)數(shù)與有相同的奇偶性．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

考慮個(gè)點(diǎn)對(duì)，設(shè)包含點(diǎn)對(duì)的好圓個(gè)數(shù)為，則好圓總個(gè)數(shù)應(yīng)為（因?yàn)槊總�(gè)圓包含三個(gè)點(diǎn)對(duì)）．由于與同奇偶，故只須證明所有均為奇數(shù)即可．

對(duì)任一點(diǎn)對(duì)，把在下方的任一點(diǎn)，比如說(shuō)，在上方作一點(diǎn)，使，把下方的所有點(diǎn)通過(guò)此種變換變到上方．由于四點(diǎn)不共圓，故上方的所有點(diǎn)對(duì)的張角大小互不相同．將除外的個(gè)點(diǎn)按張角從小到大的順序標(biāo)號(hào)．若此點(diǎn)原來(lái)就在上方，則標(biāo)記“上”；若此點(diǎn)是由原來(lái)在下方的點(diǎn)變換而得，則標(biāo)“下”．由于每個(gè)點(diǎn)只和它對(duì)的張角的大小有關(guān)系，故不妨將個(gè)點(diǎn)排成一條與垂直的直線(xiàn)，張角小的在上．注意到，若過(guò)、、三點(diǎn)作圓，則對(duì)于那些標(biāo)有“下”的點(diǎn)來(lái)說(shuō)，若它處于圓內(nèi)，則變換前必處于圓外，反之亦然．

從而，過(guò)點(diǎn)、、的圓為好圓等價(jià)于上方的“上”點(diǎn)數(shù)下方的“下”點(diǎn)數(shù)

下方的“上”點(diǎn)數(shù)上方的“下”點(diǎn)數(shù)． ①

于是，只須證明：滿(mǎn)足上面條件的有奇數(shù)個(gè)．

（1）當(dāng)均為“上”點(diǎn)，顯然，只有一個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足條件，點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)．

此時(shí)，“下”點(diǎn)個(gè)數(shù)為0個(gè)．

（2）若，易知點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)．

對(duì)一般的個(gè)點(diǎn)：

（i）若1和均標(biāo)“上”，則1和必同時(shí)滿(mǎn)足或不滿(mǎn)足條件．

而由對(duì)稱(chēng)性，可去掉1，兩點(diǎn)，剩下的點(diǎn)原來(lái)滿(mǎn)足條件與否等價(jià)于現(xiàn)在滿(mǎn)足條件與否．

故可把個(gè)點(diǎn)的情形化為個(gè)點(diǎn)的情形（它們的奇偶性相同）．

（ii）若1，兩點(diǎn)中有1個(gè)點(diǎn)標(biāo)“下”，不妨設(shè)為1，把點(diǎn)1標(biāo)的“下”改為“上”，并放到點(diǎn)的下面，標(biāo)號(hào)，則原來(lái)點(diǎn)1滿(mǎn)足式①當(dāng)且僅當(dāng)現(xiàn)在點(diǎn)滿(mǎn)足式①，原來(lái)滿(mǎn)足式①當(dāng)且僅當(dāng)現(xiàn)在變換后點(diǎn)滿(mǎn)足式①．若是點(diǎn)標(biāo)“下”，把“下”改為“上”放到點(diǎn)1的上面，情況完全類(lèi)似．此時(shí)，“下”的個(gè)數(shù)減少1，雖然點(diǎn)數(shù)沒(méi)變．

故不斷對(duì)個(gè)點(diǎn)進(jìn)行操作（i）或（ii），可使得點(diǎn)數(shù)不斷減少（每次減少2）或“下”點(diǎn)數(shù)不斷減少（每次減少1）．于是，有限步后，必變成無(wú)標(biāo)“下”的點(diǎn)或只有3個(gè)點(diǎn)的情形．此時(shí)，由（1）、（2）即可獲證．

綜上所述，原命題得證．