Question

20．若a_n+1=2a_n+1（n=1，2，3，…）．且a₁=1．
（1）求a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）歸納猜想通項(xiàng)公式a_n并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)遞推公式，分別代值計算即可，
（2）由（1）可以猜想a_n=2ⁿ-1（n∈N^*），并用數(shù)學(xué)歸納法證明即可

解答 解：（1）由已知a₁=1，a_n+1=2a_n+1，得
a₂=3=2²-1，a₃=7=2³-1，
a₄=15=2⁴-1，a₅=31=2⁵-1．
（2）歸納猜想，得a_n=2ⁿ-1（n∈N^*），
證明如下：①當(dāng)n=1時，a₁=2¹-1=1，成立，
②假設(shè)n=k時成立，即a_k=2^k-1（k∈N^*），
那么a_k+1=2a_k+1=2•（2^k-1）+1=2^k+1-1，
即當(dāng)n=k+1時也成立，
由①②可得a_n=2ⁿ-1（n∈N^*）都成立．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的遞推公式，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立．證明當(dāng)n=k+1時命題也成立，是解題的難點(diǎn)．