(1)若任意直線l過點F(0,1),且與函數(shù)f(x)=
1
4
x2
的圖象C交于兩個不同的點A,B,分別過點A,B作C的切線,兩切線交于點M,證明:點M的縱坐標是一個定值,并求出這個定值;
(2)若不等式f(x)≥g(x)恒成立,g(x)=alnx(a>o)求實數(shù)a的取值范圍;
(3)求證:
ln24
24
+
ln34
34
+
ln44
44
+…
lnn4
n4
2
e
,(其中e為無理數(shù),約為2.71828).
分析:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),分別求出在點A,B處的切線方程,求出兩切線的交點M的縱坐標,即可得到結(jié)論;
(2)令F(x)=f(x)-g(x),然后利用導(dǎo)數(shù)研究F(x)的最小值,使F(x)的最小值大于等于0即可,從而求出a的取值范圍;
(3)由(2)可知,取a=
e
2
x2
4
e
2
lnx
  化簡得:
2lnx
x2
1
e
,再變形得:
lnx4
x4
2
ex2
,然后利用疊加法,以及裂項求和法可證得結(jié)論.
解答:證明:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意知AB的斜率必存在  設(shè)AB:y=kx+1代入y=
1
4
x2

得  x2-4kx-4=0∴x1x2=-4
∵f(x)=
1
4
x2
∴f′(x)=
x
2

∴kAM=
x1
2
,kBM=
x2
2
,
∴AM:y-
x
2
1
4
=
x1
2
(x-x1),
化簡得:AM:y=
x1
2
x-
x
2
1
4

同理:BM:y=
x2
2
x-
x
2
2
4
,解得:y=
x1x2
4
=-1
(2)令:F(x)=f(x)-g(x)=
1
4
x
2
-alnx
(a>0,x>0),
∴F′(x)=
x
2
-
a
x
=
x2-2a
2x

令 F′(x)=0 得:x=
2a
 
所以 當x∈(0,
2a
)時F′(x)<0   即F(x)在區(qū)間(0,
2a
)上單調(diào)遞減;
所以 當x∈(
2a
,+∞)時F′(x)>0即即F(x)在區(qū)間(
2a
,+∞)上單調(diào)遞增;
∴y=F(x)在x=
2a
時取得最小值,要f(x)≥g(x)恒成立,只要F(
2a
)≥0
即 
x
2
-aln
2a
≥0
,解得a≤
e
2

(3)由(2)可知,取a=
e
2
x2
4
e
2
lnx
  化簡得:
2lnx
x2
1
e

變形得:
lnx4
x4
2
ex2

ln24
24
+
ln34
34
+
ln44
44
+…
lnn4
n4
2
e
1
22
+
1
32
+
1
42
+…+
1
n2

2
e
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
(n-1)n
)=
2
e
(1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n-1
-
1
n
)=
2
e
(1-
1
n
)<
2
e
點評:本題主要考查了恒成立問題,以及不等式的證明和裂項求和法的應(yīng)用,同時考查了轉(zhuǎn)化能力,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•青島一模)若任意直線l過點F(0,1),且與函數(shù)f(x)=
1
4
x2
的圖象C于兩個不同的點A,B過點A,BC,兩切線交于點M
(Ⅰ)證明:點M縱坐標是一個定值,并求出這個定值;
(Ⅱ)若不等式f(x)≥g(x),g(x)=alnx(a>0),求實數(shù)a取值范圍;
(Ⅲ)求證:
2ln2
22
+
2ln3
32
+
2ln4
42
+…+
2ln
n2
n-1
e
,(其中e自然對數(shù)的底數(shù),n≥2,n∈N).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

若任意直線l過點F(0,1),且與函數(shù)數(shù)學(xué)公式的圖象C于兩個不同的點A,B過點A,BC,兩切線交于點M
(Ⅰ)證明:點M縱坐標是一個定值,并求出這個定值;
(Ⅱ)若不等式f(x)≥g(x),g(x)=alnx(a>0),求實數(shù)a取值范圍;
(Ⅲ)求證:數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式,(其中e自然對數(shù)的底數(shù),n≥2,n∈N).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(1)若任意直線l過點F(0,1),且與函數(shù)f(x)=數(shù)學(xué)公式的圖象C交于兩個不同的點A,B,分別過點A,B作C的切線,兩切線交于點M,證明:點M的縱坐標是一個定值,并求出這個定值;
(2)若不等式f(x)≥g(x)恒成立,g(x)=alnx(a>o)求實數(shù)a的取值范圍;
(3)求證:數(shù)學(xué)公式,(其中e為無理數(shù),約為2.71828).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年廣東省湛江師范附中高考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)模擬試卷2(理科)(解析版) 題型:解答題

(1)若任意直線l過點F(0,1),且與函數(shù)f(x)=的圖象C交于兩個不同的點A,B,分別過點A,B作C的切線,兩切線交于點M,證明:點M的縱坐標是一個定值,并求出這個定值;
(2)若不等式f(x)≥g(x)恒成立,g(x)=alnx(a>o)求實數(shù)a的取值范圍;
(3)求證:,(其中e為無理數(shù),約為2.71828).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案