【題目】已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)的奇偶性,并說明理由;
(2)設(shè),問函數(shù)的圖像是否關(guān)于某直線成軸對稱圖形,如果是,求出的值,如果不是,請說明理由;(可利用真命題:“函數(shù)的圖像關(guān)于某直線成軸對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)是偶函數(shù)”)
(3)設(shè),函數(shù),若函數(shù)與的圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)當(dāng)時(shí),是偶函數(shù);當(dāng)時(shí),是奇函數(shù);當(dāng) 時(shí),既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù);理由見解析;(2)是軸對稱圖形,;(3)
【解析】
(1)函數(shù),表示出,根據(jù)奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義,即可求得的值。
(2)根據(jù)函數(shù)關(guān)于直線成軸對稱圖形,可得恒成立,代入函數(shù)解析式即可求得的值,即可得對稱軸方程。
(3)根據(jù)函數(shù)與的圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn),即只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。將方程化簡,根據(jù)換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題,再分類討論方程的二次項(xiàng)系數(shù)及根的分布問題,即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍。
(1)函數(shù)
所以
若函數(shù)為偶函數(shù),則,即
化簡可得 ,對任意實(shí)數(shù)成立,所以
若函數(shù)為奇函數(shù),則,即
化簡可得 ,對任意實(shí)數(shù)成立,所以
綜上所述,當(dāng)時(shí)為偶函數(shù);當(dāng)時(shí),為奇函數(shù);當(dāng)時(shí),既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)
(2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線成軸對稱圖形
則為函數(shù)向左平移個(gè)單位得到的圖像,因而關(guān)于y軸對稱,即為偶函數(shù)
所以恒成立
函數(shù)
所以
化簡可得
因?yàn)閷τ谌我鈱?shí)數(shù)成立
所以,解得
所以函數(shù)是軸對稱圖形,對稱軸為直線
(3)因?yàn)?/span>
則
函數(shù),且函數(shù)與的圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn),
所以
化簡可得
因?yàn)橹挥幸粋(gè)公共點(diǎn),所以方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
令
則方程化為由且只有一個(gè)正根
①當(dāng)時(shí),,不合題意,舍去
②當(dāng)時(shí),
若,則
解得
當(dāng)時(shí),代入方程可得,解得,符合題意
當(dāng)時(shí),代入方程可得,解得,不合題意
若,則
解得
由題意可知,方程有一個(gè)正根與一個(gè)負(fù)根,即
解得
綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓:的離心率為,長軸端點(diǎn)與短軸端點(diǎn)間的距離為.
(I)求橢圓的方程;
(II)設(shè)過點(diǎn) 的直線與橢圓交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),若為直角三角形,求直線的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】大豆,古稱菽,原產(chǎn)中國,在中國已有五千年栽培歷史,皖北多平原地帶,黃河故道土地肥沃,適宜種植大豆,2018年春,為響應(yīng)中國大豆參與世界貿(mào)易的競爭,某市農(nóng)科院積極研究,加大優(yōu)良品種的培育工作,其中一項(xiàng)基礎(chǔ)工作就是研究晝夜溫差大小與大豆發(fā)芽率之間的關(guān)系,為此科研人員分別記錄了5天中每天100粒大豆的發(fā)芽數(shù),得如下數(shù)據(jù)表格:
科研人員確定研究方案是:從5組數(shù)據(jù)中選3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用求得的回歸方程對剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).
(Ⅰ)求剩下的2組數(shù)據(jù)恰是不相鄰的2天數(shù)據(jù)的概率;
(Ⅱ)若選取的是4月5日、6日、7日三天數(shù)據(jù),據(jù)此求關(guān)于的線性同歸方程;
(Ⅲ)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差絕對值均不超過1粒,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,請檢驗(yàn)(Ⅱ)中同歸方程是否可靠?
注:,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正三棱柱的各條棱長均相等, 為的中點(diǎn), 分別是線段和線段上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn)),且滿足.當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí),下列結(jié)論中不正確的是( )
A. 平面平面 B. 三棱錐的體積為定值
C. 可能為直角三角形 D. 平面與平面所成的銳二面角范圍為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種植園在芒果臨近成熟時(shí),隨機(jī)從一些芒果樹上摘下100個(gè)芒果,其質(zhì)量(單位:克)分別在,,,,,中,經(jīng)統(tǒng)計(jì)得頻率分布直方圖如圖所示.
(1)現(xiàn)按分層抽樣從質(zhì)量為,的芒果中隨機(jī)抽取6個(gè),再從這6個(gè)中隨機(jī)抽取3個(gè),求這3個(gè)芒果中恰有1個(gè)在內(nèi)的概率;
(2)某經(jīng)銷商來收購芒果,以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的平均值,用樣本估計(jì)總體,該種植園中還未摘下的芒果大約還有10000個(gè),經(jīng)銷商提出如下兩種收購方案:
方案:所有芒果以10元/千克收購;
方案:對質(zhì)量低于250克的芒果以2元/個(gè)收購,高于或等于250克的以3元/個(gè)收購.
通過計(jì)算確定種植園選擇哪種方案獲利更多?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】高二年級有男生490人,女生510人,張華按男生、女生進(jìn)行分層,通過分層隨機(jī)抽樣的方法,得到男生、女生的平均身高分別為170.2cm和160.8cm.
(1)如果張華在各層中按比例分配樣本,總樣本量為100,那么在男生、女生中分別抽取了多少名?在這種情況下,請估計(jì)高二年級全體學(xué)生的平均身高.
(2)如果張華從男生、女生中抽取的樣本量分別為30和70,那么在這種情況下,如何估計(jì)高二年級全體學(xué)生的平均身高更合理?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列從總體中抽得的樣本是否為簡單隨機(jī)樣本?
(1)總體編號為1~75.在0~99中產(chǎn)生隨機(jī)整數(shù)r.若或.則舍棄,重新抽取.
(2)總體編號為1~75.在0~99中產(chǎn)生隨機(jī)整數(shù)r,r除以75的余數(shù)作為抽中的編號,若余數(shù)為0.則抽中75.
(3)總體編號為6001~6876.在1~876范圍內(nèi)產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)整數(shù)r,把r+6000作為抽中的編號.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某電視節(jié)目為選拔出現(xiàn)場錄制嘉賓,在眾多候選人中隨機(jī)抽取100名選手,按選手身高分組,得到的頻率分布表如圖所示.
(Ⅰ)請補(bǔ)充頻率分布表中空白位置相應(yīng)數(shù)據(jù),再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖;
(Ⅱ)為選拔出舞臺(tái)嘉賓,決定在第3、4、5組中用分層抽樣抽取6人上臺(tái),求第3、4、5組每組各抽取多少人?
(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,電視節(jié)目主持人會(huì)在上臺(tái)6人中隨機(jī)抽取2人表演節(jié)目,求第4組至少有一人被抽取的概率?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1),平面五邊形中,為正三角形,,,.如圖(2)將沿折起到的位置,使得平面平面.點(diǎn)為線段的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)若異面直線與所成角的正切值為,,求四棱錐的體積.
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