Question

若數列A_n={a_n}：a₁，a₂，…，a_n（n≥2）滿足|a_k+1-a_k|=1（k=1，2，…，n-1），則稱數列A_n為E數列，記S（A_n）=a₁+a₂+…+a_n．
（Ⅰ）寫出一個滿足a₁=a₉=0，且S（A₉）＞0的E數列A₉；
（Ⅱ）若a₁=13，n=2000，證明：E數列A_n是遞增數列的充要條件是a_n=2012．

Answer 1

考點：數列的應用,必要條件、充分條件與充要條件的判斷,數列與不等式的綜合

專題：證明題,新定義,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（Ⅰ）對照E數列的條件和求和概念，即可得到；
（Ⅱ）可先證明必要性：由遞增數列的定義，得到A_n是首項為13，公差為1的等差數列．從而有a₂₀₀₀=
2012；再證充分性：由新定義推出a₂₀₀₀≤a₁+1999，又因為a₁=13，a₂₀₀₀=2012，所以a₂₀₀₀=a₁+1999．得證．

解答： （Ⅰ）解：0，1，2，1，0，1，2，1，0是一具滿足條件的E數列A₉．
（答案不唯一，0，1，0，1，0，1，0，1，0也是一個滿足條件的E的數列A₉）
（Ⅱ）證明：必要性：因為E數列A₂₀₀₀是遞增數列，
所以a_k+1-a_k=1（k=1，2，…，1999）．            
所以A₂₀₀₀是首項為13，公差為1的等差數列．
所以a₂₀₀₀=13+（2000-1）×1=2012．
充分性：由于a₂₀₀₀-a₁₉₉₉≤1，
a₁₉₉₉-a₁₉₉₈≤1
…
a₂-a₁≤1                                
所以a₂₀₀₀-a₁≤1999，即a₂₀₀₀≤a₁+1999，
又因為a₁=13，a₂₀₀₀=2012，
所以a₂₀₀₀=a₁+1999．
故a_n+1-a_n=1＞0（k=1，2，…，1999）即A_n是遞增數列．
綜上，結論得證．

點評：本題考查新定義及理解，考查數列的運用，充分必要條件的證明，解題的關鍵在于對新定義的正確運用，屬于中檔題．