Question

7．討論函數(shù)f（x）=x-$\frac{a}{x}$（a＞0）的單調(diào)性，并作出當(dāng)a=1時(shí)y=f（x）的圖象．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義即可求出單調(diào)區(qū)間以及畫出函數(shù)的圖象即可．

解答 解：設(shè)x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=x₁-$\frac{a}{{x}_{1}}$-x₂+$\frac{a}{{x}_{2}}$
=（x₁-x₂）$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+a}{{x}_{1}{x}_{2}}$
∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增；
設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=x₁-$\frac{a}{{x}_{1}}$-x₂+$\frac{a}{{x}_{2}}$
=（x₁-x₂）$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+a}{{x}_{1}{x}_{2}}$
∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
∴f（x）在（-∞，0），或（0，+∞）上為增函數(shù)，
當(dāng)a=1時(shí)y=f（x）=x-$\frac{1}{x}$圖象如圖所示：

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的定義以及分類討論的思想，屬于中檔題．