【題目】已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,為橢圓短軸的一個端點,為橢圓的右焦點,線段的延長線與橢圓相交于點,且.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設直線與橢圓相交于,兩點,為坐標原點,若直線與的斜率之積為,求的取值范圍.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)由題意得b=2,由,得到,代入橢圓方程,結(jié)合a2=b2+c2,聯(lián)立解出即可.
(2)解法一:先考慮斜率存在時,設直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,將條件坐標化,把根與系數(shù)的關系代入可得:,代入中,化簡得,又,可得所求范圍,再考慮斜率不存在時,求得點A,B坐標,計算數(shù)量積,與k存在時的范圍取并集即可.
解法二:設直線OA斜率為k,將直線OA的方程與橢圓聯(lián)立,求得A的坐標,利用寫出B的坐標,代入化簡后,利用基本不等式求得最值.
(1)設橢圓的方程為,右焦點,
因為為橢圓短軸的一個端點,則.因為,則點.
因為點在橢圓上,則,即.
又,則,得,所以橢圓的標準方程是.
(2)解法一:當直線的斜率存在時,設直線的方程為,
代入橢圓方程,得,即.
設點,,則,.
因為,則,即,即,
即,所以,
即,化簡得.
所以 .
因為 ,,則,
所以.
又,則,即,則,所以.
當直線的斜率不存在時,點,關于軸對稱,則.
因為,不妨設,則.聯(lián)立與,得點,,或點,,此時.
綜上分析,的取值范圍是.
解法二:因為,設,則.
設點,,則,即,
所以.
由,得,即,所以.
同理,.
所以 .
因為,當且僅當,即時取等號,則.
即,且,所以的取值范圍是.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列中,,,.
(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;
(2)在數(shù)列中,是否存在連續(xù)三項成等差數(shù)列?若存在,求出所有符合條件的項;若不存在,請說明理由;
(3)若且,,求證:使得,,成等差數(shù)列的點列在某一直線上.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是直角三角形,AC=BC=AA1=2,D為側(cè)棱AA1的中點.
(1)求異面直線DC1,B1C所成角的余弦值;
(2)求二面角B1-DC-C1的平面角的余弦值.
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【題目】某市準備引進優(yōu)秀企業(yè)進行城市建設. 城市的甲地、乙地分別對5個企業(yè)(共10個企業(yè))進行綜合評估,得分情況如莖葉圖所示.
(Ⅰ)根據(jù)莖葉圖,求乙地對企業(yè)評估得分的平均值和方差;
(Ⅱ)規(guī)定得分在85分以上為優(yōu)秀企業(yè). 若從甲、乙兩地準備引進的優(yōu)秀企業(yè)中各隨機選取1個,求這兩個企業(yè)得分的差的絕對值不超過5分的概率.
注:方差
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【題目】定義在上的函數(shù),單調(diào)遞增,,若對任意,存在,使得成立,則稱是在上的“追逐函數(shù)”.若,則下列四個命題:①是在上的“追逐函數(shù)”;②若是在上的“追逐函數(shù)”,則;③是在上的“追逐函數(shù)”;④當時,存在,使得是在上的“追逐函數(shù)”.其中正確命題的個數(shù)為( )
A. B. C. D.
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【題目】已知函數(shù).
(I)若在處取得極值,求過點且與在處的切線平行的直線方程;
(II)當函數(shù)有兩個極值點,且時,總有成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】某工廠共有男女員工500人,現(xiàn)從中抽取100位員工對他們每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)統(tǒng)計如下:
每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)(單位:百件) | |||||
頻數(shù) | 10 | 45 | 35 | 6 | 4 |
男員工人數(shù) | 7 | 23 | 18 | 1 | 1 |
(1)其中每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)不少于3200件的員工被評為“生產(chǎn)能手”.由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認為“生產(chǎn)能手”與性別有關?
非“生產(chǎn)能手” | “生產(chǎn)能手” | 合計 | |
男員工 | |||
女員工 | |||
合計 |
(2)為提高員工勞動的積極性,工廠實行累進計件工資制:規(guī)定每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)在定額2600件以內(nèi)的,計件單價為1元;超出件的部分,累進計件單價為1.2元;超出件的部分,累進計件單價為1.3元;超出400件以上的部分,累進計件單價為1.4元.將這4段中各段的頻率視為相應的概率,在該廠男員工中選取1人,女員工中隨機選取2人進行工資調(diào)查,設實得計件工資(實得計件工資=定額計件工資+超定額計件工資)不少于3100元的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望.
附:,
.
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【題目】從一批蘋果中,隨機抽取50個,其重量(單位:克)的頻數(shù)分布表如下:
分組(重量) | ||||
頻數(shù)(個) | 5 | 10 | 20 | 15 |
(1) 根據(jù)頻數(shù)分布表計算蘋果的重量在的頻率;
(2) 用分層抽樣的方法從重量在和的蘋果中共抽取4個,其中重量在的有幾個?
(3) 在(2)中抽出的4個蘋果中,任取2個,求重量在和中各有1個的概率.
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