Question

若正項(xiàng)數(shù)列滿足條件：存在正整數(shù)，使得對(duì)一切都成立，則稱數(shù)列為級(jí)等比數(shù)列．
（1）已知數(shù)列為2級(jí)等比數(shù)列，且前四項(xiàng)分別為，求的值；
（2）若為常數(shù)），且是級(jí)等比數(shù)列，求所有可能值的集合，并求取最小正值時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和；
（3）證明：為等比數(shù)列的充要條件是既為級(jí)等比數(shù)列，也為級(jí)等比數(shù)列．

Answer 1

（1）（2），0，（3）詳見(jiàn)解析.

試題分析：（1）解新定義數(shù)列問(wèn)題，關(guān)鍵從定義出發(fā)，建立等量關(guān)系. ,
,,（2）本題化簡(jiǎn)是關(guān)鍵.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051842321456.png" style="vertical-align:middle;" />是級(jí)等比數(shù)列，所以
 

所以，最小正值等于，此時(shí)
，（3）充分性就是驗(yàn)證，易證，關(guān)鍵在于證必要性，可從兩者中在交集（共同元素）出發(fā). ,成等比數(shù)列, 因此既是中的項(xiàng)，也是中的項(xiàng)，既是中的項(xiàng)，也是中的項(xiàng)，可得它們公比的關(guān)系，進(jìn)而推出三者結(jié)構(gòu)統(tǒng)一，得出等比數(shù)列的結(jié)論.
解（1）   （2分）

   （4分）
（2）是級(jí)等比數(shù)列，
 （1分）




所以，
 （3分）
最小正值等于，此時(shí)
，，
 （5分）
 （6分）
（3）充分性：若為等比數(shù)列，則
對(duì)一切成立，顯然對(duì)成立。
所以既為級(jí)等比數(shù)列，也為級(jí)等比數(shù)列。 （2分）
必要性：若為級(jí)等比數(shù)列，，則均成等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列的公比分別為，為級(jí)等比數(shù)列，，則成等比數(shù)列，設(shè)公比為     （3分）
既是中的項(xiàng)，也是中的項(xiàng)，
既是中的項(xiàng)，也是中的項(xiàng)，
     （5分）
設(shè)，則
所以（），（），
又，，
所以，     （7分）
（）
所以，，（）
綜合得：，顯然為等比數(shù)列。     （8分）