Question

【題目】如圖，是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面，且．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）線段上是否存在一點(diǎn)，使二而角等于45°？若存在，請(qǐng)找出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，二面角所成角為．

【解析】

（Ⅰ）要證得結(jié)論只需證得平面即可，根據(jù)線面垂直判定定理可證得結(jié)論；

（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)線段上存在一點(diǎn)滿足題意，利用二面角的向量求法可構(gòu)造方程求得點(diǎn)坐標(biāo)，得到的長(zhǎng).

（Ⅰ）平面，平面，平面，

，，

又，，平面，平面，

又平面，平面平面．

（Ⅱ）如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

，，，，，

，，

假設(shè)線段上存在一點(diǎn)滿足題意，設(shè)，，

軸平面，平面的一個(gè)法向量，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，而，，

則，令，則，，，

，

若二面角所成角為，，解得：，

存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，二面角所成角為．