我們知道,判斷直線與圓的位置關(guān)系可以用圓心到直線的距離進(jìn)行判別,那么直線與橢圓的位置關(guān)系有類似的判別方法嗎?請同學(xué)們進(jìn)行研究并完成下面問題.
(1)設(shè)F1、F2是橢圓M:
x2
25
+
y2
9
=1
的兩個焦點(diǎn),點(diǎn)F1、F2到直線L:
2
x-y+
5
=0的距離分別為d1、d2,試求d1•d2的值,并判斷直線L與橢圓M的位置關(guān)系.
(2)設(shè)F1、F2是橢圓M:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的兩個焦點(diǎn),點(diǎn)F1、F2到直線L:mx+ny+p=0(m、n不同時為0)的距離分別為d1、d2,且直線L與橢圓M相切,試求d1•d2的值.
(3)試寫出一個能判斷直線與橢圓的位置關(guān)系的充要條件,并證明.
(4)將(3)中得出的結(jié)論類比到其它曲線,請同學(xué)們給出自己研究的有關(guān)結(jié)論(不必證明).
分析:(1)利用點(diǎn)到直線的距離公式分別計算d1、d2,代入d1•d2化簡,可以求出d1•d2的值,再通過直線L與橢圓方程消去y得到關(guān)于x的方程,可以求出根的差別式大于零,得到直線L與橢圓M有兩個交點(diǎn),是相交的位置關(guān)系;
(2)將直線方程與橢圓方程消去y,得到關(guān)于x的方程.再利用根的判別式可得△=0,從而p2=a2m2+b2n2,將其代入d1•d2的表達(dá)式化簡可得d1•d2=b2;
(3)根據(jù)(2)運(yùn)算得啟發(fā):直線L與橢圓M相交的充要條件為:d1d2<b2;直線L與橢圓M相切的充要條件為:d1d2=b2;直線L與橢圓M相離的充要條件為:d1d2>b2.然后選擇其中之一,結(jié)合(2)中的運(yùn)算過程與結(jié)論,可得證明方法;
(4)根據(jù)類比推理的一般規(guī)律,不難推出(3)中的結(jié)論在雙曲線中的推廣:直線L與雙曲線相交的充要條件為:d1d2<b2;直線L與雙曲線M相切的充要條件為:
d1d2=b2;直線L與雙曲線M相離的充要條件為:d1d2>b2
解答:解:(1)d1d2=
|-4
2
+
5
|
3
|-4
2
-
5
|
3
=9
; …(2分)
聯(lián)立方程
x2
25
+
y2
9
=1
2
x-y+
5
=0
,消去y得關(guān)于x的方程:59x 2+50 
10
x-100=0
; …(3分)
△=(50
10
) 2+4×59×100>0
,因此直線L與橢圓M相交.…(4分)
(2)聯(lián)立方程組
x2
25
+
y2
9
=1
mx+ny+p=0
,消去y可得(a2m2+b2n2)x2+2a2mpx+a2(p2-b2n2)=0…(*)…(6分)
∴△=(2a2mp)2-4a2(a2m2+b2n2)(p2-b2n2)=4a2b2n2(a2m2+b2n2-p2)=0
∴p2=a2m2+b2n2…(8分)
∵橢圓的焦點(diǎn)為:F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),其中c2=a2-b2
d1d2=
|-mc+p|
m2+n2
|mc+p|
m2+n2
=
|p2-m2c2|
m2 +n2

=
|a 2m2+b 2n 2m2c2|
m2 +n2
=b2
…(10分)

(3)設(shè)F1、F2是橢圓M:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的兩個焦點(diǎn),
點(diǎn)F1、F2到直線L:mx+ny+p=0(m、n不同時為零)的距離分別為d1、d2,且F1、F2在直線L的同側(cè).
那么直線L與橢圓相交的充要條件為:d1d2<b2;
直線L與橢圓M相切的充要條件為:d1d2=b2;
直線L與橢圓M相離的充要條件為:d1d2>b2 …(14分)
證明:由(2)得,直線L與橢圓M相交?(*)中△>0?p2<a2m2+b2n2
?d1d2=
|-mc+p|
m2+n2
|mc+p|
m2+n2
=
|p2-m2c2|
m2 +n2
|a 2m2+b 2n 2m2c2|
m2 +n2
=b2

同理可證:直線L與橢圓M相離?d1d2>b2;直線與橢圓相切?d1d2=b2…(16分).命題得證.
(寫出其他的充要條件僅得(2分),未指出“F1、F2在直線L的同側(cè)”得3分)
(4)可以類比到雙曲線:設(shè)F1、F2是雙曲線M:
x 2
a 2
-
y 2
b 2
=1
(a>0,b>0)的兩個焦點(diǎn),
點(diǎn)F1、F2到直線L:mx+ny+p=0(m、n不同時為零)距離分別為d1、d2,且F1、F2在直線L的同側(cè).
那么直線L與雙曲線相交的充要條件為:d1d2<b2;
直線L與雙曲線M相切的充要條件為:d1d2=b2;
直線L與雙曲線M相離的充要條件為:d1d2>b2.…(20分)
點(diǎn)評:本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、類比推理以及圓錐曲線的綜合應(yīng)用等知識點(diǎn),屬于難題.本題對運(yùn)算的要求相當(dāng)高,解題中應(yīng)注意設(shè)而不求和轉(zhuǎn)化化歸思想的運(yùn)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

我們知道,直線與圓的位置關(guān)系可以用圓心到直線的距離進(jìn)行判別,那么直線與橢圓的位置關(guān)系有類似的判別方法嗎?請同學(xué)們進(jìn)行研究并完成下面的問題.
(1)設(shè)F1、F2是橢圓M:
x2
25
+
y2
9
=1
的兩個焦點(diǎn),點(diǎn)F1、F2到直線l:
2
x-y
+
5
=0
的距離分別為d1、d2,試求d1•d2的值,并判斷直線l與橢圓M的位置關(guān)系.
(2)設(shè)F1、F2是橢圓M:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的兩個焦點(diǎn),點(diǎn)F1、F2到直線l:mx+ny+p=0(m、n不同時為零)的距離分別為d1、d2,且直線l與橢圓M相切,試求d1•d2的值.
(3)試寫出一個能判斷直線與橢圓的相交、相離位置關(guān)系的充要條件(不必證明).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本題20分,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題6分,第4小題4分)

         我們知道,判斷直線與圓的位置關(guān)系可以用圓心到直線的距離進(jìn)行判別,那么直線與橢圓的位置關(guān)系有類似的判別方法嗎?請同學(xué)們進(jìn)行研究并完成下面問題。

   (1)設(shè)F1、F2是橢圓的兩個焦點(diǎn),點(diǎn)F1、F2到直線的距離分別為d1、d2,試求d1·d2的值,并判斷直線L與橢圓M的位置關(guān)系。

   (2)設(shè)F1、F2是橢圓的兩個焦點(diǎn),點(diǎn)F1、F2到直線        m、n不同時為0)的距離分別為d1、d2,且直線L與橢圓M相切,試求d1·d2的值。

   (3)試寫出一個能判斷直線與橢圓的位置關(guān)系的充要條件,并證明。

   (4)將(3)中得出的結(jié)論類比到其它曲線,請同學(xué)們給出自己研究的有關(guān)結(jié)論(不必證明)。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

我們知道,判斷直線與圓的位置關(guān)系可以用圓心到直線的距離進(jìn)行判別,那么直線與橢圓的位置關(guān)系有類似的判別方法嗎?請同學(xué)們進(jìn)行研究并完成下面問題.
(1)設(shè)F1、F2是橢圓M:
x2
25
+
y2
9
=1
的兩個焦點(diǎn),點(diǎn)F1、F2到直線L:
2
x-y+
5
=0的距離分別為d1、d2,試求d1•d2的值,并判斷直線L與橢圓M的位置關(guān)系.
(2)設(shè)F1、F2是橢圓M:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的兩個焦點(diǎn),點(diǎn)F1、F2到直線L:mx+ny+p=0(m、n不同時為0)的距離分別為d1、d2,且直線L與橢圓M相切,試求d1•d2的值.
(3)試寫出一個能判斷直線與橢圓的位置關(guān)系的充要條件,并證明.
(4)將(3)中得出的結(jié)論類比到其它曲線,請同學(xué)們給出自己研究的有關(guān)結(jié)論(不必證明).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2008-2009學(xué)年上海市十四校高三(上)第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

我們知道,判斷直線與圓的位置關(guān)系可以用圓心到直線的距離進(jìn)行判別,那么直線與橢圓的位置關(guān)系有類似的判別方法嗎?請同學(xué)們進(jìn)行研究并完成下面問題.
(1)設(shè)F1、F2是橢圓M:的兩個焦點(diǎn),點(diǎn)F1、F2到直線L:x-y+=0的距離分別為d1、d2,試求d1•d2的值,并判斷直線L與橢圓M的位置關(guān)系.
(2)設(shè)F1、F2是橢圓M:(a>b>0)的兩個焦點(diǎn),點(diǎn)F1、F2到直線L:mx+ny+p=0(m、n不同時為0)的距離分別為d1、d2,且直線L與橢圓M相切,試求d1•d2的值.
(3)試寫出一個能判斷直線與橢圓的位置關(guān)系的充要條件,并證明.
(4)將(3)中得出的結(jié)論類比到其它曲線,請同學(xué)們給出自己研究的有關(guān)結(jié)論(不必證明).

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同步練習(xí)冊答案