已知P、Q是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上關(guān)于原點對稱的兩點，M是該橢圓上任意一點，且直線MP、MQ的斜率分別為k1、k2，若|k1k2|=
1
3
，則橢圓的離心率為（　�。�
A、
3
2
B、
1
2
C、
6
3
D、
3
3
分析：先設(shè)出P，M，N的坐標，把它們代入橢圓方程，方程相減可分別表示出PM和PN的斜率，二者相乘等于
1
3
同時把x1=-x2，y1=-y2代入解求得a和b的關(guān)系，進而求得a和c的關(guān)系，則橢圓的離心率可得．
解答：解：設(shè)p（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），把它們代入橢圓方程得
x 02
a2
+
y 02
b2
=1①，
x 12
a2
+
y 12
b2
=1②.
x 22
a2
+
y 22
b2
=1
②-①得PM的斜率k1=
y0-y1
x0-x1
=
b2(x0+x1)
a2(y0+y1)
，
同理PN的斜率k2=
y0-y2
x0-x2
=
b2(x0+x2)
a2(y0+y2)
，k1•k2=
b4(x0+x2)(x0+x1)
a4(y0+y2)(y0+y1)
=
1
3
，
M、N是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，x1=-x2，y1=-y2．
∴
b2
a2
=
1
3
，即a2=3b2，
∴c2=a2-b2=
2
3
a2，
∴e=
c
a
=
6
3
．
故選C
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．當直線與橢圓相交時，涉及弦長中點時，或直線的斜率時都可采用點差法，設(shè)出點代入橢圓方程，然后相減，與直線的斜率和弦的中點相聯(lián)系．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知F1、F2是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點，點P在橢圓C上，線段PF2與圓x2+y2=b2相切于點Q，且點Q為線段PF2的中點，則
PF1
•
PF2
=
 
；橢圓C的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點，點P在橢圓C上，線段PF2與圓x2+y2=b2相切于點Q，且點Q為線段PF2的中點，則橢圓C的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知P（-4，-4），Q是橢圓x2+2y2=16上的動點，M是線段PQ上的點，且滿足PM=
1
3
MQ，則動點M的軌跡方程是（　�。�
A、（x-3）2+2（y-3）2=1
B、（x+3）2+2（y+3）2=1
C、（x+1）2+2（y+1）2=9
D、（x-1）2+2（y-1）2=9

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•鷹潭一模）如圖，已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點，點P在橢圓C上，線段PF2與圓x2+y2=b2相切于點Q，且點Q為線段PF2的中點，則橢圓C的離心率為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•紹興模擬）已知F1，F(xiàn)2是橢圓
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)的左、右焦點，點P在橢圓上，且∠F1PF2=
π
2
，記線段PF1與Y軸的交點為Q，O為坐標原點，若△F1OQ與四邊形OF2PQ的面積之比為1：2，則該橢圓的離心率等于（　�。�

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