Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx，且f（x+1）為偶函數(shù)，定義：滿足f（x）=x的實數(shù)x稱為函數(shù)f（x）不動點，若函數(shù)f（x）有且僅有一個不動點
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+

k

x

+

1

2

x²在（0，

6

3

]上是單調(diào)減函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，討論并求h（x）=x+

k

4x

+1的零點．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得，二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0）的對稱軸為x=-

b

2a

=1，故有b=-2a，再根據(jù)函數(shù)
f（x）有且僅有一個不動點，可得ax² -2ax=x 只有一個解，由判別式等于零求得a、b的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）g（x）=x+

k

x

，在（0，

6

3

]上是單調(diào)減函數(shù)，

k＞0 k ≥ 6 3

得出答案．
（3）分類討論得出當(dāng)x＞0時，h（x）＞0恒成立，此時無零點，
根據(jù)對鉤函數(shù)的性質(zhì)得出：
當(dāng)x＜0時，f（x）_max=1-

k

，
①當(dāng)1-

k

=0時，即k=1時，h（x）有1個負(fù)零點，
②當(dāng)k＞1時，1-

k

＜0，h（x）無零點，
③當(dāng)

2

3

≤k＜1時，1-

k

＞0，h（x）有2個負(fù)零點，

解答： 解：（1）由題意可得，二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0）的對稱軸為x=-

b

2a

=1，∴b=-2a，
f（x）=ax² -2ax．
再根據(jù)函數(shù)f（x）有且僅有一個不動點，可得ax² -2ax=x 只有一個解，
故△=（2a+1）²-0=0，∴a=-

1

2

．
（2）f（x）=-

1

2

x²+x，
g（x）=f（x）+

k

x

+

1

2

x²，
∵即k≥

2

3

，
故實數(shù)k的取值范圍：k≥

2

3

，
（3）h（x）=x+

k

4x

+1，k≥

2

3

，
∵當(dāng)x＞0時，h（x）＞0恒成立，
∴此時無零點，
∵當(dāng)x＜0時，-x-

k

4x

≥2

k 4

=

k

，
∴x+

k

4x

≤-

k

，
∴當(dāng)x＜0時，f（x）_max=1-

k

，
∵k≥

2

3

①當(dāng)1-

k

=0時，即k=1時，h（x）有1個負(fù)零點，
②當(dāng)k＞1時，1-

k

＜0，h（x）無零點，
③當(dāng)

2

3

≤k＜1時，1-

k

＞0，h（x）有2個負(fù)零點，

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，解析式的求解，函數(shù)的零點，分類討論的思想，屬于中檔題．