Question

如圖,在長方體OAEB—O₁A₁E₁B₁中,｜OA｜=3,｜OB｜=4,｜OO₁｜=2,點(diǎn)P在棱AA₁上,且｜AP｜=2｜PA₁｜,點(diǎn)S在棱BB₁上,且｜SB₁｜=2｜BS｜,點(diǎn)Q、R分別是O₁B₁、AE的中點(diǎn),求證:PQ∥RS.

Answer 1

證法一:如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(3,0,0),B(0,4,0),O₁(0,0,2),A₁(3,0,2),B₁(0,4,2),E(3,4,0).

∵｜AP｜=2｜PA₁｜,∴,

即(0,0,2)=(0,0,).

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0,).

同理可得Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,).

∴=(-3,2,)=.

∴∥.

又∵RPQ,∴PQ∥RS.

證法二:設(shè)=a,=b,=c,則

∴∴∥.

又∵RPQ,∴PQ∥RS.綠色通道：

利用向量證明線線平行的一般步驟為:

(1)證明兩向量共線;

(2)證明其中一個(gè)向量所在直線上一點(diǎn)不在另一個(gè)向量所在的直線上;

(3)得出結(jié)論.