Question

4．設(shè)動(dòng)直線x=a與函數(shù)f（x）=2sin²x和$g（x）=\sqrt{3}sin2x$的圖象分別交于M、N兩點(diǎn)，則|MN|的最大值為3．

Answer 1

分析 用二倍角公式化簡f（x），將|MN|表示成a的三角函數(shù)，
再化為正弦型函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求出最大值．

解答 解：函數(shù)f（x）=2sin²x=1-cos2x，
函數(shù)$g（x）=\sqrt{3}sin2x$；
∴f（x）-g（x）=1-cos2x-$\sqrt{3}$sin2x
=-2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）+1
=-2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1；
若直線x=a與函數(shù)f（x）和g（x）的圖象分別交于M、N兩點(diǎn)，
則|MN|=|f（a）-g（a）|=|-2sin（2a+$\frac{π}{6}$）+1|≤|2+1|=3，
∴|MN|的最大值為3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的二倍角公式、誘導(dǎo)公式以及三角恒等變換和正弦函數(shù)的有界性問題．