【題目】已知二次函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x+1)﹣f(x)=﹣2x+1且f(2)=15.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)令g(x)=(2﹣2m)x﹣f(x);
①若函數(shù)g(x)在x∈[0,2]上是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
②求函數(shù)g(x)在x∈[0,2]的最小值.
【答案】
(1)解:設(shè)f(x)=ax2+bx+c,
∵f(2)=15,f(x+1)﹣f(x)=﹣2x+1,
∴4a+2b+c=15;a(x+1)2+b(x+1)+c﹣(ax2+bx+c)=﹣2x+1;
∴2a=﹣2,a+b=1,4a+2b+c=15,解得a=﹣1,b=2,c=15,
∴函數(shù)f(x)的表達(dá)式為f(x)=﹣x2+2x+15
(2)解:∵g(x)=(2﹣2m)x﹣f(x)=x2﹣2mx﹣15的圖象是開(kāi)口朝上,且以x=m為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn),
①若函數(shù)g(x)在x∈[0,2]上是單調(diào)函數(shù),則m≤0,或m≥2;
②當(dāng)m≤0時(shí),g(x)在[0,2]上為增函數(shù),當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)g(x)取最小值﹣15;
當(dāng)0<m<2時(shí),g(x)在[0,m]上為減函數(shù),在[m,2]上為增函數(shù),當(dāng)x=m時(shí),函數(shù)g(x)取最小值﹣m2﹣15;
當(dāng)m≥2時(shí),g(x)在[0,2]上為減函數(shù),當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)g(x)取最小值﹣4m﹣11;
∴函數(shù)g(x)在x∈[0,2]的最小值為
【解析】(1)據(jù)二次函數(shù)的形式設(shè)出f(x)的解析式,將已知條件代入,列出方程,令方程兩邊的對(duì)應(yīng)系數(shù)相等解得.(2)函數(shù)g(x)的圖象是開(kāi)口朝上,且以x=m為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn),①若函數(shù)g(x)在x∈[0,2]上是單調(diào)函數(shù),則m≤0,或m≥2;②分當(dāng)m≤0時(shí),當(dāng)0<m<2時(shí),當(dāng)m≥2時(shí)三種情況分別求出函數(shù)的最小值,可得答案.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì),掌握當(dāng)時(shí),拋物線(xiàn)開(kāi)口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當(dāng)時(shí),拋物線(xiàn)開(kāi)口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.令.
(1)求的通項(xiàng)公式;
(2)若,且數(shù)列的前項(xiàng)和為,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知y=f(x)(x∈R)是偶函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2﹣2x.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若不等式f(x)≥mx在1≤x≤2時(shí)都成立,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】近年來(lái)我國(guó)電子商務(wù)行業(yè)迎來(lái)發(fā)展的新機(jī)遇,2016年雙11期間,某購(gòu)物平臺(tái)的銷(xiāo)售業(yè)
績(jī)高達(dá)1207億人民幣。與此同時(shí),相關(guān)管理部門(mén)推出了針對(duì)電商的商品和服務(wù)的評(píng)價(jià)體系,現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出200次成功交易,并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),對(duì)商品的好評(píng)率為0.9,對(duì)服務(wù)的好評(píng)率為0.75,其中對(duì)商品和服務(wù)都做出好評(píng)的交易為140次.
(1)請(qǐng)完成下表,并判斷是否可以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.5%的前提下,認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)?
(2)若將頻率視為概率,某人在該購(gòu)物平臺(tái)上進(jìn)行的3次購(gòu)物中,設(shè)對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)為隨機(jī)變量:
①求對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)的分布列;
②求的數(shù)學(xué)期望和方差.
(,其中)
對(duì)服務(wù)好評(píng) | 對(duì)服務(wù)不滿(mǎn)意 | 合計(jì) | |
對(duì)商品好評(píng) | 140 | ||
對(duì)商品不滿(mǎn)意 | 10 | ||
合計(jì) | 200 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,A1E=CF=1.
(1)求兩條異面直線(xiàn)AC1與D1E所成角的余弦值;
(2)求直線(xiàn)AC1與平面BED1F所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系中,將曲線(xiàn) (α為參數(shù))上的每一點(diǎn)縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半,然后整個(gè)圖象向右平移1個(gè)單位,最后橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍得到曲線(xiàn)C1 . 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x的非負(fù)半軸為極軸,建立的極坐標(biāo)中的曲線(xiàn)C2的方程為ρ=4sinθ,求C1和C2公共弦的長(zhǎng)度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題中正確的是( )
A.若x在 內(nèi),則sinx>cosx
B.函數(shù) 的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是
C.函數(shù) 的最大值為π
D.函數(shù)y=sin2x的圖象可以由函數(shù) 的圖象向右平移 個(gè)單位而得
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C: =1(a>0,b>0)的離心率為 ,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面積為1.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn),直線(xiàn)PA與y軸交于點(diǎn)M,直線(xiàn)PB與x軸交于點(diǎn)N.求證:|AN||BM|為定值.
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