Question

在平面直角坐標系xOy中，設(shè)A、B是雙曲線上的兩點，M（1，2）是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點．
（1）求直線AB與CD的方程；
（2）判斷A、B、C、D四點是否共圓？若共圓，請求出圓的方程；若不共圓，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁），則B（2-x₁，4-y₁），代入雙曲線方程，即可求出A、B的坐標，從而可得AB、CD的方程；
（2）A、B、C、D四點共圓，證明由三點A、B、C可先確定一個圓，再檢驗證D滿足方程即可．
解答：解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），則B（2-x₁，4-y₁），代入雙曲線得
解得或
即A、B的坐標為（-1，0）、（3，4），所以AB的方程為，即y=x+1，
∵A，B的中點為（1，2），
∴CD的方程為：y-2=-（x-1），即y=-x+3；
（2）A、B、C、D四點共圓，下證之：
證明：由y=-x+3與聯(lián)立方程組可得C、D的坐標為、，
由三點A、B、C可先確定一個圓，設(shè)圓心坐標為O′（a，-a+3），由|O′A|=|O′B|=|O′C|，可得（a+1）²+（-a+3）²=（a-3）²+（-a-1）²=，∴a=-3，∴圓心坐標為（-3，6），半徑為2
∴圓的方程為（x+3）²+（y-6）²=40①，
檢驗適合①式，所以A、B、C、D四點共圓．
（注：本題亦可以利用圓的幾何性質(zhì)判斷四點共圓）
點評：本題主要考查求雙曲線、直線、圓等基礎(chǔ)知識，考查運算求解與探究能力．