Question

13．如圖，P是邊長為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點，PA=1，P在平面ABC內的射影為BF的中點O．
（Ⅰ）證明PA⊥BF；
（Ⅱ）求面APB與面DPB所成二面角的大小的余弦值．

Answer 1

分析 （1）立體幾何中證明直線與直線垂直，通�？捎萌�垂線定理：因為P在平面ABC內的射影為O，所以PO⊥平面ABF，所以AO為PA在平面ABF內的射影；又因為O為BF中點，所以AO⊥BF，則PA⊥BF．
（2）二面角的度量關鍵在于作出它的平面角，常用的方法就是三垂線定理．由PO⊥平面ABF可得：AD⊥平面PBF，過O在平面POB內作OH⊥PB于H，連AH、DH，則AH⊥PB，DH⊥PB，所以∠AHD為所求二面角平面角．

解答 證明：（Ⅰ）在正六邊形ABCDEF中，△ABF為等腰三角形，
∵P在平面ABC內的射影為O，
∴PO⊥平面ABF，
∴AO為PA在平面ABF內的射影；
∵O為BF中點，
∴AO⊥BF，∴PA⊥BF．
解：（Ⅱ）∵PO⊥平面ABF，
∴平面PBF⊥平面ABC；
而O為BF中點，ABCDEF是正六邊形，
∴A、O、D共線，且直線AD⊥BF，
則AD⊥平面PBF；
又∵正六邊形ABCDEF的邊長為1，
∴AO=$\frac{1}{2}$，DO=$\frac{3}{2}$，BO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
過O在平面POB內作OH⊥PB于H，連AH、DH，
則AH⊥PB，DH⊥PB，所以∠AHD為所求二面角平面角，
在△AHO中，OH=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，tan∠AHO=$\frac{AO}{OH}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{21}}{7}}$=$\frac{7}{2\sqrt{21}}$，
在△DHO中，tan∠DHO=$\frac{DO}{OH}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{21}}{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$，
∴tan∠AHD=tan（∠AHO+∠DHO）=$\frac{\frac{7}{2\sqrt{21}}+\frac{\sqrt{21}}{2}}{1-\frac{7}{2\sqrt{21}}×\frac{\sqrt{21}}{2}}$=-$\frac{4×28}{3\sqrt{21}}$=-$\frac{16\sqrt{21}}{9}$，
∴cos∠AHD=-$\frac{3\sqrt{5457}}{1819}$．
∴面APB與面DPB所成二面角的大小的余弦值為-$\frac{3\sqrt{5457}}{1819}$．

點評 本小題主要考查棱錐的結構特征，二面角和線面關系等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運算能力