如圖所示,D,E分別為△ABC的邊AB,AC上的點(diǎn),且不與△ABC的頂點(diǎn)重合.已知AE的長為m,AC的長為n,AD,AB的長是關(guān)于x的方程x2-14x+mn=0的兩個根.

(1)證明:C,B, D,E四點(diǎn)共圓;

(2)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圓的半徑.


 (1)證明:連接DE,根據(jù)題意在△ADE和△ACB中,

AD·AB=mn=AE·AC,

即=.

又∠DAE=∠CAB,從而△ADE∽△ACB,

因此∠ADE=∠ACB,

∴∠ACB+∠EDB=180°,

∴C、B、D、E四點(diǎn)共圓.

(2)解:m=4,n=6時,方程x2-14x+mn=0的兩根為x1=2,x2=12,故AD=2,AB=12.

取CE的中點(diǎn)G,DB的中點(diǎn)F,分別過G、F作AC、AB的垂線,兩垂線相交于H點(diǎn),連接DH.

因?yàn)镃、B、D、E四點(diǎn)共圓,

∴C、B、D、E四點(diǎn)所在圓的圓心為H,半徑為DH.

由于∠A=90°,故GH∥AB,HF∥AC,

從而HF=AG=5,DF=×(12-2)=5,

故C、B、D、E四點(diǎn)所在圓的半徑為5.


練習(xí)冊系列答案
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已知F是拋物線y2=x的焦點(diǎn),A,B是該拋物線上的兩點(diǎn),|AF|+|BF|=3,則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為(　　)

(A)   (B)1        (C)     (D)

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(2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個極值點(diǎn),x3是f(x)的一個零點(diǎn),且x3≠x1,x3≠x2.證明:存在實(shí)數(shù)x4,使得x1,x2,x3,x4按某種順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列,并求x4.

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