Question

10．已知△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且cosA=$\frac{3}{4}$．
（1）若△ABC的周長為30，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=90，求邊a的長；
（2）若tanC=3$\sqrt{7}$，且|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{46}$，求△ABC的面積；
（3）若|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{46}$，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意，以及向量的數(shù)量積以及余弦定理可得關于a，b，c的方程組，解得即可，
（2）根據(jù)同角的三角函數(shù)的關系和兩角和的正弦公式和誘導公式，根據(jù)正弦定理得到a：b：c=sinA：sinB：sinC=4：5：6，不妨設a=4k，b=5k，c=6k，
再根據(jù)向量的數(shù)量積的運算求出k的值，即可求出三角形的面積，
（3）根據(jù)向量的數(shù)量積公式和基本不等式求出bc≤46，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案．

解答 解：（1）△ABC的周長為30，即a+b+c=30①
且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=90，即bccosA=90所以bc=120②
又有余弦定理得到2bccosA=b²+c²-a²=180，③
由①②③得到a=8；
（2）∵cosA=$\frac{3}{4}$，
∴sinA=$\sqrt{1-\frac{9}{16}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∵tanC=3$\sqrt{7}$，
∴sinC=3$\sqrt{7}$cosC，
∵sin²C+cos²C=1，
∴cosC=$\frac{1}{8}$，sinC=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{\sqrt{7}}{4}$×$\frac{1}{8}$+$\frac{3}{4}$×$\frac{3\sqrt{7}}{8}$=$\frac{5\sqrt{7}}{16}$，
∵a：b：c=sinA：sinB：sinC=$\frac{\sqrt{7}}{4}$：$\frac{5\sqrt{7}}{16}$：$\frac{3\sqrt{7}}{8}$=4：5：6，
不妨設a=4k，b=5k，c=6k，
∵|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{46}$，
∴b²+a²+2abcosC=46，
即25k²+16k²+5k²=46，
解得k=1，
∴a=4，b=5，c=6，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{15\sqrt{7}}{4}$；
（3）∵|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{46}$，
∴|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BA}$|=$\sqrt{46}$，
∴|2$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{46}$，
∴4b²+c²-2×2bc×$\frac{3}{4}$=46，
∴4b²+c²-3bc=46，
∴4bc-3bc≤46，即bc≤46，當且僅當2b=c時取等號，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$×46×$\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{23\sqrt{7}}{4}$，
故△ABC的面積的最大值$\frac{23\sqrt{7}}{4}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡以及余弦定理和正弦定理和三角形的面積公式，以及向量的模和向量的數(shù)量積，以及基本不等式，考查了學生的運算能力和轉化能力，屬于中檔題．