Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是邊長為4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB＝3，BC＝5．

（Ⅰ）求直線B₁C₁與平面A₁BC₁所成角的正弦值；

（Ⅱ）在線段BC₁上確定一點D，使得AD⊥A₁B，并求的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵AA₁C₁C為正方形，∴AA₁⊥AC．

∵平面ABC⊥平面AA₁C₁C，

∴AA₁⊥平面ABC，

∴AA₁⊥AC，AA₁⊥AB．

由已知AB＝3，BC＝5，AC＝4，∴AB⊥AC．

如圖，以A為原點建立空間直角坐標系A-xyz，則B(0，3，0)，A₁(0，0，4)，B₁(0，3，4)，C₁(4，0，4)，

∴＝(0，3，－4)，＝(4，0，0)，＝(4，－3，0)．

設(shè)平面A₁BC₁的法向量為n＝(x，y，z)，則

即

令z＝3，則x＝0，y＝4，∴n＝(0，4，3)．

設(shè)直線B₁C₁與平面A₁BC₁所成的角為θ，則

sinθ＝|cos＜，n＞|＝＝＝．

故直線B₁C₁與平面A₁BC₁所成角的正弦值為．

（Ⅱ）設(shè)D(x，y，z)是線段BC₁上一點，且＝λ（λ∈[0，1]），

∴(x，y－3，z)＝λ(4，－3，4)，

∴x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ，

∴＝(4λ，3－3λ，4λ)．

又＝(0，3，－4)，

由·＝0，得3(3－3λ)－4×4λ＝0，

即9－25λ＝0，解得λ＝∈[0，1]．

故在線段BC₁上存在點D，使得AD⊥A₁B．

此時＝λ＝．