Question

19．已知冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，$\frac{1}{9}$）
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并用定義證明．

Answer 1

分析 （1）設(shè)冪函數(shù)f（x）=x^α，利用圖象過(guò)點(diǎn)（3，$\frac{1}{9}$）求出α的值，即得解析式；
（2）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，利用單調(diào)性定義即可證明．

解答 解：（1）設(shè)冪函數(shù)f（x）=x^α，其圖象過(guò)點(diǎn)（3，$\frac{1}{9}$），
∴3^α=$\frac{1}{9}$，
解得α=-2，
∴f（x）=x^-2；
（2）函數(shù)f（x）=x^-2=$\frac{1}{{x}^{2}}$，在（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)；
證明如下：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$-$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{{（x}_{2}{-x}_{1}）{（x}_{1}{+x}_{2}）}{{{{{x}_{1}}^{2}x}_{2}}^{2}}$＞0，
f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的是單調(diào)減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了冪函數(shù)的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了函數(shù)的單調(diào)性證明問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．