Question

12．從某市統(tǒng)考的學(xué)生數(shù)學(xué)考試卷中隨機(jī)抽查100份數(shù)學(xué)試卷作為樣本，分別統(tǒng)計(jì)出這些試卷總分，由總分得到如下的頻率分布直方圖．
（1）求這100份數(shù)學(xué)試卷的樣本平均分$\overline x$和樣本方差s²
（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）
（2）由直方圖可以認(rèn)為，這批學(xué)生的數(shù)學(xué)總分Z服從正態(tài)分布N（μ，σ²），其中μ近似為樣本平均數(shù)$\overline x$，σ²近似為樣本方差s²．
①利用該正態(tài)分布，求P（81＜z＜119）；
②記X表示2400名學(xué)生的數(shù)學(xué)總分位于區(qū)間（81，119）的人數(shù)，利用①的結(jié)果，求EX（用樣本的分布區(qū)估計(jì)總體的分布）．
附：$\sqrt{366}$≈19，$\sqrt{326}$≈18，若Z=～N（μ，²），則P（μ-σ²），則P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．

Answer 1

分析 （1）一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，求這100份數(shù)學(xué)試卷的樣本平均分$\overline x$和樣本方差s²；
（2）①利用該正態(tài)分布，Z～N（100，366），即可求P（81＜z＜119）；
②數(shù)學(xué)總分位于區(qū)間（81，119）的概率為0.6826，X～（2400，0.6826），即可求EX．

解答 解：（1）由題意，$\overline{x}$=60×0.02+70×0.08+80×0.14+90×0.15+100×0.24+110×0.15+120×0.1+130×0.08+140×0.04=100，
樣本方差s²=（60-100）²×0.02+（70-100）²×0.08+（80-100）²×0.14+（90-100）²×0.15+（100-100）²×0.24+（110-100）²×0.15+（120-100）²×0.1+（130-100）²×0.08+（140-100）²×0.04=366；
（2）Z～N（100，366），P（81＜z＜119）=P（100-19＜z＜100+19）=0.6826；
②數(shù)學(xué)總分位于區(qū)間（81，119）的概率為0.6826，X～（2400，0.6826），
EX=2400×0.6826=1638.24．

點(diǎn)評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，樣本方差的求法，正態(tài)分布，考查分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．