Question

【題目】已知是圓錐的高，是圓錐底面的直徑，是底面圓周上一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，平面和平面將圓錐截去部分后的幾何體如圖所示.

（1）求證：平面平面；

（2）若，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）連結(jié)，易證，，從而可證明平面，進(jìn)而可證明平面平面；

（2）先證明，，兩兩垂直，進(jìn)而建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的方法求得二面角的余弦值即可.

（1）連結(jié)，則，

又因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)?/span>是圓錐的高，所以平面，

平面，所以，

又，

所以平面，

又平面，

所以平面平面.

（2）由已知可得，

所以為正三角形，.

又因?yàn)?/span>，所以，所以.

于是分別以，，為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，.

則，，.

設(shè)平面的法向量為，

由得：.

令，得，，

即.

設(shè)平面的法向量為，

由得：，

令，得，，即.

設(shè)二面角的大小為，由圖可知，，則.

故所求二面角的余弦值為.