Question

【題目】某娛樂節(jié)目參賽選手分初賽培訓(xùn)、復(fù)賽三個(gè)階段選拔，將50位參選手的初賽成績(jī)（總分150分）分成[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）5組進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）根據(jù)頻率分析直方圖，估算這50個(gè)選手初賽成績(jī)的平均分，若節(jié)日組規(guī)定成績(jī)大于或等于120分的選手可獲得節(jié)目組組織的培訓(xùn)資格，120分以下（不包括120）的則被淘汰，求這50個(gè)人中獲得培訓(xùn)資格的人數(shù)；

（2）節(jié)目組從獲得培訓(xùn)資格的人員中選拔部分人員進(jìn)入復(fù)賽.為增加節(jié)目的娛樂性，節(jié)目組提供了以下兩種進(jìn)入復(fù)賽的方式（每位選手只能選擇其中一種）

第一種方式：利用分層抽樣的方法抽取6名選手參加復(fù)賽；

第二種方式：每人最多有5次答題機(jī)會(huì)，累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題終止答題，答對(duì)3題可參加復(fù)賽

①已知甲的初賽成績(jī)?cè)?/span>[120，130）內(nèi)，他答對(duì)每一個(gè)問題的概率為，并且互相之間沒有影響甲要想?yún)⒓訌?fù)賽，選擇那種方式更有利？

②若甲選擇第二種方式，求他在答題過程中答題個(gè)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

Answer 1

【答案】（1）115；15（2）①選擇第二種方式更有利②詳見解析

【解析】

（1）每組的中點(diǎn)作為代表值加權(quán)平均即可得到平均數(shù)，根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)出初賽成績(jī)大于或等于120分的概率，即可得到這50個(gè)人中獲得培訓(xùn)資格的人數(shù)；

（2）①分別計(jì)算甲采用兩種方式答題能進(jìn)入復(fù)賽的概率，概率大的更有利；

②列出隨機(jī)變量的所有可能的取值，分別計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，列出分布列求期望即可．

（1）平均成績(jī)（95×0.01+105×0.02+115×0.04+125×0.02+135×0.01）×10＝115，

所有獲得培訓(xùn)資格的人數(shù)為（0.02+0.01）×10×50＝15.

（2）①由題圖可知，成績(jī)不低于120分的選手的人數(shù)分別為10人，5人，

設(shè)“甲能參加培訓(xùn)”為事件A，

若甲采用第一種方式，

則用分層抽樣的方法抽取6名人員，在第4組，第5組中分別抽取4人，2人，

∴P（A），若選手選擇第二組方式，則因?yàn)榧状饘?duì)第一道題的概率為p，

∴所以甲答題3次且答對(duì)的概率為p3.

甲答題4次且恰有3次答對(duì)的概率為，

甲答題5次且恰有3次答對(duì)的概率為，

由此可得P（A），

∵，

∴甲想?yún)⒓訌?fù)賽選擇第二種方式更有利.

②甲答對(duì)每一題的概率為p，答題個(gè)數(shù)X的可能取值為3，4，5，

且P（X＝3）＝p3+（1﹣p）3，

P（X＝4），

P（X＝5），

∴X的分布列為：

X	3	4	5
P

∴X的數(shù)學(xué)期望E（X）＝34.