【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6，點(diǎn)為其準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.

（1）求拋物線的方程；

（2）當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，證明:為等腰直角三角形.

（3）證明：為直角三角形.

【答案】（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的定義可知，到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，得到求出參數(shù)即可求出拋物線的解析式；

（2）由（1）可得，由題意知切線的斜率存在且不為0，設(shè)為，所以切線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消去得到關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)求出的值，即可求出、的坐標(biāo)，即可得證；

（3）設(shè)點(diǎn)，由題意知切線的斜率存在且不為0，設(shè)為，所以切線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消去得到關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)求出的值，即可得證；

解：（1）根據(jù)題意可得，得，

所以拋物線的方程為.

（2）拋物線：的準(zhǔn)線方程為，

所以點(diǎn)，由題意知切線的斜率存在且不為0，設(shè)為，

所以切線方程為.

由方程組，得，

所以，

解得，解得.

不妨取，，易得為等腰直角三角形.

（3）設(shè)點(diǎn)，由題意知切線的斜率存在且不為0，設(shè)為，

所以切線方程為，

由方程組，

得，

此時(shí)

，

所以，即.

所以為直角三角形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線，其焦點(diǎn)為，直線過點(diǎn)與交于、兩點(diǎn)，當(dāng)的斜率為時(shí)，.

（1）求的值；

（2）在軸上是否存在一點(diǎn)滿足（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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【題目】已知兩點(diǎn)分別在軸和軸上運(yùn)動(dòng)，且，若動(dòng)點(diǎn)滿足.

（1）求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)動(dòng)直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，與圓相交于兩點(diǎn)（兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上），求直線的斜率之積.

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【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍；

（3）證明：且

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓，若圓的一條切線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且.

（1）求圓的方程；

（2）已知橢圓的上頂點(diǎn)為，點(diǎn)在圓上，直線與橢圓相交于另一點(diǎn)，且，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的離心率，左、右焦點(diǎn)分別是、，且橢圓上一動(dòng)點(diǎn)到的最遠(yuǎn)距離為，過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)以為直角時(shí)，求直線的方程；

（3）直線的斜率存在且不為0時(shí)，試問軸上是否存在一點(diǎn)使得，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)．

（1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點(diǎn)；

（2）若x∈[0，π]時(shí)，f（x）≥ax，求a的取值范圍．

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【題目】已知曲線C的極坐標(biāo)方程是.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程是: (是參數(shù)).

(Ⅰ)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,將直線的參數(shù)方程化為普通方程;

(Ⅱ)若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn),且,試求實(shí)數(shù)m的值.

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【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若是曲線上的任意一點(diǎn)，是曲線上的任意一點(diǎn)，求線段的最小值.

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