Question

已知不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，且，于.
①求證：直線過(guò)定點(diǎn)；　　　　
②求點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）.

（1）為避免對(duì)斜率不存在情況的討論，可以設(shè)直線方程為,然后根據(jù)題目給的方程條件,即可確定b的值或找到b與t的關(guān)系,進(jìn)而確定定點(diǎn).
(2)由于第一問(wèn)確定了定點(diǎn)C（2,0）,然后可知點(diǎn)E在以O(shè)C為直徑的圓上.求出此圓的方程即可.
也要利用交軌法求其軌跡方程.
解：令直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)
　　　　　　　　�。ńo直線方程給分）　　　　　　　　　　……………………1分
　　　　　　　 ……………………2分
于是，、是此方程的兩實(shí)根，由韋達(dá)定理得：
　　　　　　　　　　　 ……………………3分
　　  …………4分
又　　　　　　　      　　……………………5分
∴                          ……………………6分
故直線：過(guò)定點(diǎn)　　　　　　　　　  ……………………8分
②∵,,                       ……………………9分
∴點(diǎn)的軌跡是以線段為直徑的圓除去點(diǎn)，　　　　　……………………11分
故點(diǎn)的軌跡方程為 　　　　　　……………………12分
說(shuō)明：直線的方程設(shè)為又沒(méi)有討論不存在的情況扣2分；軌跡方程中沒(méi)有限制    扣1分.