Question

在(

x

-

1

2

3	x

)  m的展開式中，只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，求：
（1）n的值；
（2）系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？該項(xiàng)是什么？
（3）系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，其展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，分析可得n是偶數(shù)，且第6項(xiàng)為中間項(xiàng)，即

n

2

+1=6，解可得答案；
（2）設(shè)第k+1項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大，則第k+1項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值比第k項(xiàng)與第k+2項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值都大，據(jù)此可以構(gòu)造不等式組，解可得

8

3

≤k≤

11

3

，由k的取值范圍，可得答案；
（3）由（2）的結(jié)論，分析可得，第4項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)，系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)或第5項(xiàng)中的一項(xiàng)，計(jì)算T₃、T₅，比較可得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意，展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
則n是偶數(shù)，且第6項(xiàng)為中間項(xiàng)，即

n

2

+1=6，
解可得n=10；
（2）設(shè)第k+1項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大，
則有

C k 10 2-k≥ C k+1 10 2-k-1 C k 10 2-k≥ C k-1 10 2-k+1

，即

k+1 10-k ≥ 1 2 11-k k ≥2

解可得

8

3

≤k≤

11

3

，
又由k∈N^*，則k=3，
系數(shù)絕對(duì)值對(duì)大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，T₄=-C₁₀³2^-3x

9

2

=-15x

9

2

；
（3）第4項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)，系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)或第5項(xiàng)中的一項(xiàng)，
又由T₃=

45

4

x

14

3

，T₅=

105

8

x

13

3

，
比較可得，系數(shù)最大的是第5項(xiàng)，則系數(shù)最大項(xiàng)為T₅=

105

8

x

13

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題時(shí)要分清二項(xiàng)式系數(shù)與該項(xiàng)的系數(shù)，掌握系數(shù)比較的方法．