分析 (Ⅰ)離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,則a=$\sqrt{2}$c,丨AF丨=a+c=$\sqrt{2}$+1,即可求得a和c的值,b2=a2-c2=1,即可求得橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)直線CD方程y=kx(k>0),代入橢圓方程,即可求得C,D坐標(biāo),d1=$\frac{{x}_{1}+\sqrt{2}k{x}_{1}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$,d2=$\frac{{x}_{2}+\sqrt{2}k{x}_{2}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$,S=$\frac{1}{2}$丨AB丨(d1+d2)=$\frac{1}{2}$(1+$\sqrt{2}$k)(x1-x2)=$\frac{\sqrt{2}+2k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$,利用基本不等式的性質(zhì)即可求得四邊形ACBD面積的最大值.
解答 解:(Ⅰ)由橢圓E:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0),橢圓焦點(diǎn)在x軸上,
離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,則a=$\sqrt{2}$c,由丨AF丨=a+c=$\sqrt{2}$+1,則c=1,a=$\sqrt{2}$,
b2=a2-c2=1,
∴橢圓E的方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$;
(Ⅱ)設(shè)直線CD方程y=kx(k>0),C(x1,y1),D(x2,y2),
C,D到AB的距離分別為d1,d2,
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$,得x2=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$,
則C($\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$,$\frac{\sqrt{2}k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$),D(9$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$,-$\frac{\sqrt{2}k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$),
因C、D分別在直線AB:$\frac{x}{\sqrt{2}}+y=1$的上方、下方
∴d1=$\frac{{x}_{1}+\sqrt{2}k{x}_{1}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$,d2=$\frac{{x}_{2}+\sqrt{2}k{x}_{2}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$,
S=$\frac{1}{2}$丨AB丨(d1+d2)=$\frac{1}{2}$(1+$\sqrt{2}$k)(x1-x2)=$\frac{\sqrt{2}+2k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$,
∴S=$\sqrt{\frac{2(1+2\sqrt{2}k+2{k}^{2})}{1+2{k}^{2}}}$=$\sqrt{2(1+\frac{2\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}})}$≤$\sqrt{2(1+\frac{1+2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}})}$=2
當(dāng)且僅當(dāng)k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí),四邊形ACBD面積S最大值,最大值為2.-----------------------12分
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查四邊形面積公式及基本不等式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
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A. | 4 | B. | 6 | C. | 8 | D. | 10 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | $\frac{2}{3}$ | B. | $\frac{3}{4}$ | C. | $\frac{1}{3}$ | D. | $\frac{1}{4}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | a${\;}^{\frac{11}{4}}$b${\;}^{\frac{11}{4}}$ | B. | a${\;}^{\frac{11}{4}}$b${\;}^{\frac{11}{2}}$ | C. | a${\;}^{\frac{11}{4}}$ | D. | b${\;}^{\frac{11}{4}}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | -1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 對(duì)任意的點(diǎn)P,都有T(S6(P))=T(P) | |
B. | 至少存在4個(gè)單位圓上的P,使得T(S3(P))=T(P) | |
C. | 若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0),則有T(S(P))=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ | |
D. | 對(duì)任意的點(diǎn)P,都有T(P)+T(S2(P))+T(S4(P))=0 |
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