Question

波波斯基以游戲方式?jīng)Q定是否參加學(xué)校同人社還是學(xué)校芭蕾舞團，游戲規(guī)則為：以O(shè)為起點（如圖正方體ABCD-EFGH的中心為點O），再從A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H這8個頂點中任取兩點為終點分別得到兩個向量，記這兩個向量的數(shù)量積為X，若X＞0就參加芭蕾舞團，否則就參加同人社．
（Ⅰ）求波波參加學(xué)校芭蕾舞社的概率；
（Ⅱ）若分別在左面四個頂點A，D，H，E處放置藍球，右面四個頂點B，C，G，F(xiàn)處放置紅球，波波斯基在上底面隨機抽取2個球，在下底面隨機抽取3個球，記抽得的紅球個數(shù)為ξ，寫出隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）以O(shè)為起點，再從A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H這8個頂點中任取兩點為終點分別得到兩個向量，滿足條件的兩個向量的個數(shù)為

C 2 8

個，這兩個向量的數(shù)量積為X，當(dāng)向量的兩個終點在同一條棱上時X＞0，由此能求出波波參加學(xué)校芭蕾舞社的概率．
（Ⅱ）由題設(shè)知ξ的可能取值為1，2，3，4，分別求出P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）以O(shè)為起點，
再從A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H這8個頂點中任取兩點為終點分別得到兩個向量，
滿足條件的兩個向量的個數(shù)為

C 2 8

=28個，分別為：

OA

，

OB

；

OA

，

OC

；

OA

，

OD

；

OA

，

OE

；

OA

，

OF

；

OA

，

OG

；

OA

，

OH

；

OB

，

OC

；

OB

，

OD

；

OB

，

OE

；

OB

，

OF

；

OB

，

OG

；

OB

，

OH

；

OC

，

OD

；

OC

，

OE

；

OC

，

OF

；

OC

，

OG

；

OC

，

OH

；

OD

，

OE

；

OD

，

OF

；

OD

，

OG

；

OD

，

OH

；

OE

，

OF

；

OE

，

OG

；

OE

，

OH

；

OF

，

OG

；

OF

，

OH

；

OG

，

OH

．
這兩個向量的數(shù)量積為X，則X＞0的有12，分別為：

OA

，

OB

；

OA

，

OD

；

OA

，

OE

；

OB

，

OC

；

OB

，

OF

；

OC

，

OD

；

OC

，

OG

；

OD

，

OH

；

OE

，

OF

；

OE

，

OH

；

OF

，

OG

；

OG

，

OH

．
∴波波參加學(xué)校芭蕾舞社的概率p=

12

C 2 8

=

3

7

．
（Ⅱ）由題設(shè)知ξ的可能取值為1，2，3，4，
P（ξ=1）=

C 2 2 •C 2 2 •C 1 2

C 2 4 C 3 4

=

1

12

，
P（ξ=2）=

C 1 2 •C 1 2 •C 2 2 •C 1 2

C 2 4 C 3 4

+

C 2 2 •C 2 2 •C 1 2

C 2 4 C 3 4

=

5

12

，
P（ξ=3）=

C 1 2 •C 1 2 •C 2 2 •C 1 2

C 2 4 C 3 4

+

C 2 2 C 1 2 C 2 2

C 2 4 C 3 4

=

5

12

，
P（ξ=4）=

C 2 2 •C 2 2 •C 1 2

C 2 4 C 3 4

=

1

12

，
∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	4
P	1 12	5 12	5 12	1 12

數(shù)學(xué)期望Eξ=1×

1

12

+2×

5

12

+3×

5

12

+4×

1

12

=

5

2

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是歷年高考的必考題型之一，解題時要注意排列組合知識的靈活運用，是中檔題．