Question

2．函數(shù)f（x）=2^-x-|lnx|的兩個零點分別為a和b，下列成立的是（　�。�

• A． 0＜ab＜1
• B． ab=1
• C． 0＜ab＜e
• D． ab＞e

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)與方程之間的關系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，根據(jù)指數(shù)和和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和運算法則進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：由f（x）=2^-x-|lnx|=0得2^-x=|lnx|，
分別作出函數(shù)g（x）=2^-x和h（x）=|lnx|的圖象如圖，
∵函數(shù)f（x）=2^-x-|lnx|的兩個零點分別為a和b，
∴設a＜b，
則由圖象得0＜a＜1，b＞1，
則2^-a=|lna|=-lna，
2^-b=|lnb|=lnb，
則2^-b-2^-a=lnb-（-lna）=lna+lnb=lnab，
即lnab=2^-b-2^-a=（$\frac{1}{2}$）^b-（$\frac{1}{2}$）^a，
∵a＜b，
∴（$\frac{1}{2}$）^b＜（$\frac{1}{2}$）^a，則（$\frac{1}{2}$）^b-（$\frac{1}{2}$）^a＜0，
即lnab＜0
則0＜ab＜1，
故選：A

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應用，根據(jù)函數(shù)與方程的關系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的運算法則和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關鍵．