Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，b= ．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）F1 ， F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A、B為橢圓的左、右頂點(diǎn)，P為橢圓C上的點(diǎn)，求證：以PF2為直徑的圓與以AB為直徑的圓相切；
（3）過左焦點(diǎn)F1作互相垂直的弦MN與GH，判斷MN的中點(diǎn)與GH的中點(diǎn)所在直線l是否過x軸上的定點(diǎn)，如果是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，如果不是，說出理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：橢圓離心率e= = = ，

由b= ，解得：a2=9，

橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）證明：由（1）知c=2，F(xiàn)1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），

連結(jié)PF1，設(shè)PF2中點(diǎn)Q

∵O為F1F2中點(diǎn)，Q為PF2中點(diǎn)

∴OQ∥PF1，OQ= PF1

∴OQ= PF1= （2a﹣PF2）=a﹣ PF2，

∴圓O與圓Q相切（內(nèi)切）

（3）解：1°當(dāng)直線MN、GH與坐標(biāo)軸不垂直時，

設(shè)MN方程為x=my﹣2，m∈R，M（x1，y1），N（x2，y2），

∴ ，整理得（5m2+9）y2﹣20my﹣25=0

∴y1+y2= ，則x1+x2= ，

∴MN中點(diǎn)S（ ， ）

用﹣ 代S點(diǎn)坐標(biāo)中的m，可得

GH中點(diǎn)T（ ， ）

設(shè)過x軸上的定點(diǎn)為（x0，0）

∴ = ，

化簡得（14x2+18）m2+14x0+18=0，

∵m∈R，

∴14x0+18=0，即x0=﹣ ，

∴過定點(diǎn)（﹣ ，0）．

2°當(dāng)直線MN、GH分別與坐標(biāo)軸垂直時，中點(diǎn)分別為F1、O，

顯然F1O所在直線為y=0，也過（﹣ ，0），

綜上，直線l過定點(diǎn)（﹣ ，0）．

【解析】（1）橢圓離心率e= = = ，即b= ，即可求得a，即可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由O為F1F2中點(diǎn)，Q為PF2中點(diǎn)，OQ∥PF1 ， OQ= PF1 ， 則OQ=a﹣ PF2 ， 即可證明圓O與圓Q相切；（3）分類當(dāng)直線MN、GH與坐標(biāo)軸不垂直時，設(shè)直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得MN中點(diǎn)S，GH中點(diǎn)T，直線的兩點(diǎn)式，整理即可求得x0；當(dāng)直線MN、GH分別與坐標(biāo)軸垂直時，中點(diǎn)分別為F1、O，顯然F1O所在直線為y=0，也過（﹣ ，0）．