15．已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線E上，△ABM為等腰三角形，其中一角為30°，則雙曲線E的離心率為（　�。�
A．$\sqrt{5}$B．2C．$\sqrt{3}$D．$\sqrt{2}$

分析 由題意畫出圖形，過點(diǎn)M作MN⊥x軸，得到Rt△BNM，通過求解直角三角形得到M坐標(biāo)，代入雙曲線方程可得a與b的關(guān)系，結(jié)合a，b，c的關(guān)系和離心率公式，求得雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
若，△ABM為等腰三角形，其中一角為30°，
則只能是|AB|=|BM|，∠BAM=30°，
過點(diǎn)M作MN⊥x軸，垂足為N，則∠MBN=60°，
在Rt△BMN中，|BM|=|AB|=2a，∠MBN=60°，
即有|BN|=2acos60°=a，|MN|=2asin60°=$\sqrt{3}$a，
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（2a，$\sqrt{3}$a），
代入雙曲線方程得$\frac{4{a}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{a}^{2}}{^{2}}$=1，
即為a2=b2，即c2=2a2，
則e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故選：D

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)條件結(jié)合三角形的邊角公式進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．注意運(yùn)用點(diǎn)滿足雙曲線的方程，考查運(yùn)算能力，是中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

5．已知等差數(shù)列{an}中，a7+a9=10，則S15的值是（　�。�
A．60B．75C．80D．70

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

6．設(shè)P為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）在第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P向兩條漸近線作垂線，垂足分別為A、B，若A、B始終在第一或第二象限內(nèi)，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為（$\sqrt{2}$，+∞）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

3．已知函數(shù)f（x）=mx-$\frac{m-1+2e}{x}$-lnx，m∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)g（x）=$\frac{1}{xcosθ}$+lnx在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，且θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
（1）當(dāng)m=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，至少存在一個(gè)x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

10．二元一次方程組的增廣矩陣為$（{\begin{array}{l}1&{-2}&5\\ 3&1&8\end{array}}）$，通過矩陣的變換，得方程組解的增廣矩陣為$[\begin{array}{l}{1}&{0}&{3}\\{0}&{1}&{-1}\end{array}]$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

20．設(shè)點(diǎn)（a，b）是區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{x＞0}\\{y＞0}\end{array}\right.$內(nèi)的任意一點(diǎn)，則使函數(shù)f（x）=ax2-2bx+3在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)的概率為$\frac{1}{3}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

7．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）和圓O：x2+y2=b2，過橢圓上一點(diǎn)P引圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．
（Ⅰ）若圓O過橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓的離心率e的值；
（Ⅱ）設(shè)直線AB與x、y軸分別交于點(diǎn)M，N，問當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，$\frac{a^2}{{O{N^2}}}$+$\frac{b^2}{{O{M^2}}}$是否為定值？請證明你的結(jié)論．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

4．已知D是面積為1的△ABC的邊AB的中點(diǎn)，E是邊AC上任一點(diǎn)，連接DE，F(xiàn)是線段DE上一點(diǎn)，連接BF，設(shè)$\frac{DF}{DE}={λ_1}$，$\frac{AE}{AC}={λ}_{2}$，且${λ_1}+{λ_2}=\frac{1}{2}$，記△BDF的面積為S=f （λ1，λ2），則S的最大值是（　�。�
A．$\frac{1}{6}$B．$\frac{1}{25}$C．$\frac{1}{30}$D．$\frac{1}{32}$

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

5．已知變量x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x+y-2≤0\\ x-y+1≤0\\ 2x-y+2≥0\end{array}\right.$，則$\frac{y}{x-3}$的取值范圍為（　　）
A．[0，$\frac{2}{3}}$]B．[0，+∞）C．（-∞，$\frac{2}{3}}$]D．[-$\frac{2}{3}$，0]

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案