Question

（2011•成都模擬）已知向量

m

=（sin2x，cos2x），

n

=（cos

π

4

，sin

π

4

），函數(shù)f（x）=

2

m

•

n

+2a（其中a為實常數(shù)）
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，

π

2

]時，函數(shù)f（x）的最小值為-2，求a的值．

Answer 1

分析：（I）由題意可得f（x）=

2

m

•

n

+2a=

2

（sin2xcos

π

4

+cos2xsin

π

4

）+2a=

2

sin(2x+

π

4

)+ 2a，利用周期公式可求T
（II）由x得范圍可求2x+

π

4

的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求sin（2x+

π

4

）的范圍，從而可求函數(shù)的最值，即可

解答：解：（I）f（x）=

2

m

•

n

+2a=

2

（sin2xcos

π

4

+cos2xsin

π

4

）+2a
=

2

sin(2x+

π

4

)+ 2a（4分）
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

= π（6分）
（II）∵0≤x≤

π

2

∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

∴-

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1（10分）
∴f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)+2a的最小值是

2

×(-

2

2

)+2a=2a-1
∴2a-1=-2
∴a=-

1

2

（12分）

點評：本題主要考查了向量的數(shù)量積的坐標表示，三角函數(shù)的輔助角公式在三角函數(shù)化簡中的應(yīng)用，正弦函數(shù)性質(zhì)中應(yīng)用，屬于 知識的簡單綜合．