【題目】已知橢圓E的中心在原點(diǎn),離心率為 ,右焦點(diǎn)到直線x+y+ =0的距離為2.
(1)求橢圓E的方程;
(2)橢圓下頂點(diǎn)為A,直線y=kx+m(k≠0)與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M、N,當(dāng)|AM|=|AN|時(shí),求m的取值范圍.

【答案】
(1)解:設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為(c,0),依題意有 =2

又c>0,得c=

又e= = = ,∴a=

∴b= =1

∴橢圓E的方程為 =1


(2)解:橢圓下頂點(diǎn)為A(0,﹣1),

設(shè)弦MN的中點(diǎn)為P(xp,yp),xM、xN分別為點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo),

由直線與橢圓方程消去y,得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2﹣1)=0,

由于直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以

∴△>0,即m2<3k2+1

xp=﹣ ,從而yp=kxp+m= ,kAP= =﹣

又|AM|=|AN|∴AM⊥AN,則﹣ =﹣ ,即2m=3k2+1 ②,

將②代入①得2m>m2,解得0<m<2,由②得k2= >0,解得m> ,

故所求的m取值范圍是( ,2)


【解析】(1)利用右焦點(diǎn)到直線x+y+ =0的距離為2,建立方程求出c,利用離心率為 ,求出a,可得b,即可求橢圓E的方程;(2)設(shè)弦MN的中點(diǎn)為P(xp , yp),xM、xN分別為點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo),聯(lián)立直線方程與橢圓方程,利用直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn),得到△>0,可得m2<3k2+1,通過|AM|=|AN|,判斷AM⊥AN,得到2m=3k2+1,然后求得m的取值范圍.

練習(xí)冊系列答案
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①函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)與函數(shù)y=logaax(a>0且a≠1)的定義域相同;
②函數(shù)y=x3與y=3x的值域相同;
③函數(shù)y= + 與y= 都是奇函數(shù);
④函數(shù)y=(x﹣1)2與y=2x1在區(qū)間[0,+∞)上都是增函數(shù).
其中正確的序號是(把你認(rèn)為正確敘述的序號都填上).

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【題目】已知函數(shù)f(x)=4x+a2x+3,a∈R
(1)當(dāng)a=﹣4時(shí),且x∈[0,2],求函數(shù)f(x)的值域;
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B.
C.
D.﹣

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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的普通方程為,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.

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(2)若x∈[﹣2,﹣1]時(shí),不等式f(x)≤ 恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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(2)當(dāng)時(shí),關(guān)于的方程在[1,4]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

求實(shí)數(shù)的取值范圍。

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